Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — INSTITUTO AOCP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 22 anos (alternativa B).

A ideia por trás

A média aritmética é uma medida que resume um conjunto de valores: ela indica o valor que cada elemento teria se todos fossem iguais, mantendo a mesma soma total. Para calculá-la, somamos todos os valores e dividimos pela quantidade de elementos. A unidade aqui é anos de serviço, e a média de 21 anos significa que, se todos tivessem 21 anos, a soma total seria a mesma.

A relação que governa é: soma total = média × quantidade de elementos. Isso porque a média é definida como a soma dividida pela quantidade, então, invertendo, a soma é o produto da média pela quantidade. Se a média aumenta, a soma total aumenta proporcionalmente; se a quantidade aumenta, a soma também aumenta. Nesta questão, conhecemos a média e a quantidade, então podemos achar a soma total, e depois usar os valores conhecidos para descobrir o valor desconhecido.

A questão cobra exatamente isso: a partir da média e de alguns valores, encontrar um valor individual. Como três pessoas têm o mesmo tempo, chamamos esse valor de x e montamos a equação da média.

O que a questão dá

• número de integrantes = 6

• média dos tempos = 21 anos

• tempos de Júlia, Joice e Jéssica = 19, 20 e 21 anos

• João, José e Jonas têm o mesmo tempo de serviço

O que queremos: o tempo de serviço de João

Passo 1 — Calcular a soma total dos tempos

A média é a soma dividida pela quantidade. Como conhecemos a média (21) e a quantidade (6), podemos descobrir a soma total, que será usada para comparar com os valores individuais.

Por que esta fórmula: A fórmula da média é média = soma / quantidade. Multiplicando os dois lados por quantidade, obtemos soma = média × quantidade. É a relação direta entre os dados que temos.

De onde vem cada valor: $\bar{x}$ = enunciado: média = 21 anos · $n$ = enunciado: 6 integrantes

Passo 2 — Somar os tempos das três mulheres

Precisamos separar a soma total em duas partes: a parte conhecida (mulheres) e a parte desconhecida (homens). Somando os valores conhecidos, sabemos quanto falta para os homens.

Por que esta fórmula: A soma de vários números é simplesmente a adição deles. Aqui, somamos 19, 20 e 21, que são os tempos de Júlia, Joice e Jéssica.

De onde vem cada valor: $19$ = enunciado: Júlia tem 19 anos · $20$ = enunciado: Joice tem 20 anos · $21$ = enunciado: Jéssica tem 21 anos

Passo 3 — Subtrair a soma das mulheres do total

A soma total é composta pela soma das mulheres mais a soma dos homens. Subtraindo a parte conhecida, obtemos a soma dos tempos dos três homens.

Por que esta fórmula: Se o total é a soma de duas partes, uma parte é o total menos a outra. É a operação inversa da adição.

De onde vem cada valor: $S_{total}$ = passo 1: 126 anos · $S_{mulheres}$ = passo 2: 60 anos

Passo 4 — Dividir a soma dos homens por três

Os três homens têm o mesmo tempo de serviço, então a soma deles é três vezes o valor individual. Dividindo por 3, encontramos o tempo de cada um, incluindo João.

Por que esta fórmula: Se três valores iguais somam S, cada valor é S dividido por 3. É a definição de divisão em partes iguais.

De onde vem cada valor: $S_{homens}$ = passo 3: 66 anos · $3$ = enunciado: três homens (João, José e Jonas)

Resposta: 22 anos (alternativa B)