Questão de Matemática — Álgebra — Avança SP 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 22,00 por kg (alternativa D).

A ideia por trás

Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de equações que compartilham as mesmas incógnitas; aqui, as incógnitas são os preços por grama de cada pão. Cada compra vira uma equação: a quantidade de pão doce vezes seu preço mais a quantidade de pão de mel vezes seu preço é igual ao total pago. A solução do sistema é o par de preços que satisfaz as duas compras ao mesmo tempo. Nesta questão, montamos o sistema com os dados das duas compras, resolvemos para achar o preço por grama do pão de mel e, no final, convertemos para preço por quilograma, pois o enunciado pede o valor por kg.

O que a questão dá

• 400 g de pão doce + 300 g de pão de mel = R$ 13,80

• 200 g de pão doce + 500 g de pão de mel = R$ 14,60

O que queremos: o preço por kg do pão de mel

Passo 1 — Montar as equações do sistema

Cada compra é uma equação: o total pago é a soma do que se gasta com cada produto. Como as quantidades estão em gramas, o preço que vamos achar é por grama. Definimos x como preço de 1 g de pão doce e y como preço de 1 g de pão de mel.

Por que esta fórmula: A equação 400x + 300y = 13,80 representa a primeira compra: 400 g de pão doce a x reais cada, mais 300 g de pão de mel a y reais cada, totalizando R$ 13,80. A segunda compra gera 200x + 500y = 14,60.

De onde vem cada valor: $400$ = enunciado: 400 g de pão doce · $300$ = enunciado: 300 g de pão de mel · $13{,}80$ = enunciado: total da primeira compra · $200$ = enunciado: 200 g de pão doce · $500$ = enunciado: 500 g de pão de mel · $14{,}60$ = enunciado: total da segunda compra

Passo 2 — Simplificar as equações

Dividir as equações por um fator comum (aqui, 100) deixa os números menores e mais fáceis de trabalhar, sem mudar a solução do sistema.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados de uma equação por um mesmo número não altera a igualdade. Dividindo a primeira por 100: 400/100 = 4, 300/100 = 3, 13,80/100 = 0,138. Na segunda: 200/100 = 2, 500/100 = 5, 14,60/100 = 0,146.

De onde vem cada valor: $4$ = passo 1: 400 ÷ 100 · $3$ = passo 1: 300 ÷ 100 · $0{,}138$ = passo 1: 13,80 ÷ 100 · $2$ = passo 1: 200 ÷ 100 · $5$ = passo 1: 500 ÷ 100 · $0{,}146$ = passo 1: 14,60 ÷ 100

Passo 3 — Igualar os coeficientes de x

Para usar o método da adição, precisamos que uma das incógnitas tenha o mesmo coeficiente nas duas equações, para que ela seja eliminada ao somar ou subtrair. Aqui, multiplicamos a segunda equação por 2 para que o coeficiente de x vire 4, igual ao da primeira.

Por que esta fórmula: Multiplicar uma equação por um número não altera a solução. A segunda equação é 2x + 5y = 0,146; multiplicando por 2, obtemos 4x + 10y = 0,292.

De onde vem cada valor: $4$ = passo 2: 2 × 2 · $10$ = passo 2: 5 × 2 · $0{,}292$ = passo 2: 0,146 × 2

Passo 4 — Subtrair as equações para eliminar x

Com os coeficientes de x iguais, subtraímos a primeira equação da nova segunda para eliminar x e ficar apenas com y. Isso isola a incógnita que queremos.

Por que esta fórmula: Subtraindo (4x + 10y) - (4x + 3y) = 0,292 - 0,138, os termos 4x se cancelam, sobrando 7y = 0,154.

De onde vem cada valor: $7$ = passo 3: 10 - 3 · $0{,}154$ = passo 3: 0,292 - 0,138

Passo 5 — Isolar y dividindo

A equação 7y = 0,154 tem y multiplicado por 7; para achar y, dividimos ambos os lados por 7.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por 7 isola y: y = 0,154 ÷ 7 = 0,022.

De onde vem cada valor: $0{,}154$ = passo 4 · $7$ = passo 4

Passo 6 — Converter para preço por quilograma

O valor encontrado é o preço por grama, mas o enunciado pede o preço por kg. Como 1 kg = 1000 g, multiplicamos o preço por grama por 1000.

Por que esta fórmula: Se 1 g custa R$ 0,022, então 1000 g (1 kg) custam 0,022 × 1000 = 22 reais.

De onde vem cada valor: $y$ = passo 5: 0,022 · $1000$ = 1 kg = 1000 g

Resposta: R$ 22,00 por kg (alternativa D)