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Questão de Física — Oscilação e Ondas — FUNDATEC 2025

FísicaOscilação e Ondas
Código
qg473122
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF Sertão - PE
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Física
Dois blocos (1 e 2) de massas iguais a m = 0,5 kg são conectados a três molas que estão posicionadas entre duas paredes, conforme ilustrado na figura abaixo. A constante elástica das duas molas externas é k = 2,0 N/m, e a constante elástica da mola do meio k₀ = 8,0 N/m. As molas têm massa desprezível e satisfazem à lei de Hooke. Sabe-se também que quando os blocos se encontram simultaneamente em suas respectivas posições de equilíbrio, as molas não apresentam qualquer deformação. Considere que x₁(t) e x₂(t) denotam os deslocamentos dos blocos da esquerda e da direita, respectivamente, em relação às suas posições de equilíbrio. No instante inicial t = 0, ambos os blocos 1 e 2 são soltos a partir do repouso nas posições x₁ (0) = 10 cm e x₂ (0) = 0, respectivamente. Assinale a alternativa que representa a posição dos blocos como função do tempo medido em unidades do sistema internacional.Imagem associada para resolução da questão
  1. Ax₁ (t) = 0,05[cos(2t) +cos(6t)] m e x₂ (t) = 0,05[cos(2t) − cos(6t)] m
  2. Bx1 (t) = 0,05 [cos(2t) + cos(4t)] m e x₂ (t) = 0,05[cos(4t) − cos(2t)] m
  3. Cx₁ (t) = 0,05 cos(3t) cos(t) m e x2 (t) = 0,05 sen(3t) sen(t) m
  4. Dx₁ (t) = 0,10 cos(4t) m e x₂ (t) = 0,10 sen(2t) m
  5. Ex₁ (t) = 0,10 cos(2t) m e x₂ (t) = 0,10 sen(4t) m
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — x₁ (t) = 0,05[cos(2t) +cos(6t)] m e x₂ (t) = 0,05[cos(2t) − cos(6t)] m

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Oscilações acopladas: sistema de dois blocos e três molas

Gabarito: letra A. O sistema de dois blocos acoplados por molas apresenta dois modos normais de vibração com frequências angulares distintas, ω1\omega_1 e ω2\omega_2. A solução geral para os deslocamentos x1(t)x_1(t) e x2(t)x_2(t) é uma superposição linear desses modos, cujas frequências são determinadas pela matriz de rigidez do sistema.

Para o sistema dado, com massas m=0,5 kgm = 0,5\,\text{kg}, constantes externas k=2,0 N/mk = 2,0\,\text{N/m} e mola central k0=8,0 N/mk_0 = 8,0\,\text{N/m}, as equações de movimento são:

mx¨1=−kx1−k0(x1−x2)m\ddot{x}_1 = -k x_1 - k_0(x_1 - x_2)
mx¨2=−kx2−k0(x2−x1)m\ddot{x}_2 = -k x_2 - k_0(x_2 - x_1)

Substituindo os valores:

0,5x¨1=−10x1+8x2  ⟹  x¨1=−20x1+16x20,5\ddot{x}_1 = -10x_1 + 8x_2 \implies \ddot{x}_1 = -20x_1 + 16x_2
0,5x¨2=−10x2+8x1  ⟹  x¨2=−20x2+16x10,5\ddot{x}_2 = -10x_2 + 8x_1 \implies \ddot{x}_2 = -20x_2 + 16x_1

Definindo as coordenadas normais q1=x1+x2q_1 = x_1 + x_2 (modo simétrico) e q2=x1−x2q_2 = x_1 - x_2 (modo antissimétrico), obtemos as frequências:

  1. Modo simétrico (q1q_1): q¨1=−4q1  ⟹  ω12=4  ⟹  ω1=2 rad/s\ddot{q}_1 = -4q_1 \implies \omega_1^2 = 4 \implies \omega_1 = 2\,\text{rad/s}.

  2. Modo antissimétrico (q2q_2): q¨2=−36q2  ⟹  ω22=36  ⟹  ω2=6 rad/s\ddot{q}_2 = -36q_2 \implies \omega_2^2 = 36 \implies \omega_2 = 6\,\text{rad/s}.

As soluções são da forma x1(t)=Acos⁡(2t)+Bcos⁡(6t)x_1(t) = A\cos(2t) + B\cos(6t) e x2(t)=Acos⁡(2t)−Bcos⁡(6t)x_2(t) = A\cos(2t) - B\cos(6t). Aplicando as condições iniciais x1(0)=0,10 mx_1(0) = 0,10\,\text{m}, x2(0)=0x_2(0) = 0 e velocidades nulas, encontramos A=B=0,05A = B = 0,05. Portanto, x1(t)=0,05[cos⁡(2t)+cos⁡(6t)]x_1(t) = 0,05[\cos(2t) + \cos(6t)] e x2(t)=0,05[cos⁡(2t)−cos⁡(6t)]x_2(t) = 0,05[\cos(2t) - \cos(6t)].

  1. 1Equações de movimento
  2. 2Coordenadas normais
  3. 3Frequências dos modos
  4. 4Solução geral
  5. 5Condições iniciais
  6. 6Posições finais
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{"tipo": "funcao", "expr": "0.05*(cos(2*x) + cos(6*x))", "xmin": 0, "xmax": 6, "marcar": []}

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta corretamente a superposição dos dois modos normais de vibração, respeitando as condições iniciais do problema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

As frequências angulares indicadas (ω=2\omega=2 e ω=4\omega=4) não correspondem aos modos normais do sistema físico descrito.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Embora utilize funções trigonométricas, a forma apresentada não satisfaz as equações diferenciais acopladas do sistema.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Descreve um movimento harmônico simples isolado, ignorando o acoplamento entre os blocos através da mola central k0k_0.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Similar à alternativa anterior, falha ao considerar a dinâmica do sistema de dois corpos acoplados.

PEGA ESSA DICA!

Em sistemas de oscilações acopladas, sempre busque as coordenadas normais (soma e diferença dos deslocamentos) para desacoplar as equações de movimento. Isso transforma um sistema de equações diferenciais em dois osciladores harmônicos simples independentes.

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