Matemática · FUNDATEC · 2025 | Questão sqc-qg473249

Volume de sólidos: cubo e pirâmide

Gabarito: letra B — para que o cubo de aresta $a$ e a pirâmide de base quadrada de aresta $2a$ tenham o mesmo volume, a altura da pirâmide deve ser $h = \frac{3a}{4}$ . Isso decorre de igualar o volume do cubo ( $V_{cubo} = a^3$ ) ao volume da pirâmide ( $V_{pir} = \frac{1}{3} \cdot (2a)^2 \cdot h$ ), resolvendo a equação resultante.

A questão cobra a aplicação direta das fórmulas de volume de dois sólidos geométricos: o cubo e a pirâmide de base quadrada. O volume do cubo é dado por $V_{cubo} = a^3$ , pois todas as arestas têm medida $a$ . Já o volume de uma pirâmide é dado por $V_{pir} = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$ , onde $A_{base}$ é a área da base e $h$ é a altura. Como a base da pirâmide é um quadrado de aresta $2a$ , sua área é $A_{base} = (2a)^2 = 4a^2$ . Substituindo na fórmula do volume da pirâmide, temos $V_{pir} = \frac{1}{3} \cdot 4a^2 \cdot h = \frac{4a^2 h}{3}$ .

Para que os volumes sejam iguais, igualamos as duas expressões:

a^3 = \frac{4a^2 h}{3}

Multiplicando ambos os lados por 3 e dividindo por $4a^2$ (considerando $a > 0$ ), obtemos:

h = \frac{3a^3}{4a^2} = \frac{3a}{4}

Portanto, a altura da pirâmide deve ser $\frac{3a}{4}$ , o que corresponde à alternativa B.

A pegadinha mais comum nesse tipo de questão é esquecer o fator $\frac{1}{3}$ na fórmula do volume da pirâmide. Se o aluno calcular o volume da pirâmide como $V = A_{base} \cdot h$ (sem o terço), encontraria $h = \frac{a}{4}$ , que não está entre as alternativas. Outra pegadinha é confundir a aresta da base com a altura, ou ainda errar na simplificação algébrica.

1V_cubo = a³
2V_pir = ⅓·(2a)²·h
3Iguala: a³ = 4a²h/3
4Isola h = 3a/4

LEVEL · soulevel.com.br

Sólido	Fórmula do volume	Dados do enunciado	Volume em função de (a) e (h)
Cubo	(V = a^3)	Aresta (a)	(V_{cubo} = a^3)
Pirâmide de base quadrada	$V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$	Aresta da base (2a) → (A_{base} = (2a)^2 = 4a^2)	$V_{pir} = \frac{1}{3} \cdot 4a^2 \cdot h = \frac{4a^2 h}{3}$

Alternativa A — ❌ Incorreta

$h = \frac{5a}{3}$ é um valor maior que o correto. Esse valor surgiria se, ao invés de igualar os volumes, o aluno fizesse $a^3 = \frac{4a^2 h}{3}$ e depois, por engano, multiplicasse em vez de dividir, ou se considerasse a área da base como $a^2$ em vez de $4a^2$ . Nenhuma operação correta leva a esse resultado.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, igualando os volumes:

a^3 = \frac{4a^2 h}{3} \Rightarrow h = \frac{3a}{4}

A alternativa B é a única que satisfaz a igualdade de volumes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$h = \frac{a}{3}$ seria o resultado se a área da base fosse $a^2$ (aresta $a$ ) e o volume da pirâmide fosse $\frac{1}{3} a^2 h$ , igualando a $a^3$ : $h = 3a$ . Não corresponde a nenhuma operação com os dados do enunciado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$h = \frac{a}{2}$ é um valor que não decorre da equação correta. Se o aluno esquecesse o fator $\frac{1}{3}$ e igualasse $a^3 = 4a^2 h$ , obteria $h = \frac{a}{4}$ , que não está nas opções. O valor $\frac{a}{2}$ não tem relação com o cálculo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$h = \frac{2a}{3}$ é um valor que poderia surgir de um erro na manipulação algébrica, como inverter a fração ou errar na divisão. A conta correta leva a $\frac{3a}{4}$ , não a $\frac{2a}{3}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o volume da pirâmide e o volume de um prisma de mesma base e altura. Se você esquecer o fator $\frac{1}{3}$ , vai achar $h = \frac{a}{4}$ , que não está nas alternativas — mas pode levar a um chute errado. Fique atento: a fórmula da pirâmide sempre tem o terço!

PEGA ESSA DICA!

Para questões de volume, monte uma tabela com as fórmulas dos principais sólidos: cubo ( $a^3$ ), paralelepípedo ( $abc$ ), prisma ( $A_{base} \cdot h$ ), pirâmide ( $\frac{1}{3} A_{base} \cdot h$ ), cilindro ( $\pi r^2 h$ ), cone ( $\frac{1}{3} \pi r^2 h$ ) e esfera ( $\frac{4}{3} \pi r^3$ ). Isso ajuda a memorizar e a não esquecer o terço nas pirâmides e cones.

Gabarito: letra B