Questão de Matemática — Polinômios — FUNDATEC 2025

Divisibilidade de polinômios: encontrando os coeficientes

Gabarito: letra C. Para que $p(x)$ seja divisível por $q(x)$, o resto da divisão deve ser o polinômio nulo. Efetuando a divisão de $p(x)$ por $q(x)$ e igualando o resto a zero, obtemos $a = -1$, $b = 2$ e $c = -1$, de modo que $a + b + c = 0$. A resolução usa o algoritmo da divisão de polinômios (método da chave).

A divisibilidade de polinômios segue a mesma lógica da divisão de números inteiros: existe um quociente $Q(x)$ e um resto $R(x)$ tais que $p(x) = q(x) \cdot Q(x) + R(x)$, com $\text{grau}(R) < \text{grau}(q)$ ou $R(x) = 0$. Quando $R(x) = 0$, dizemos que $q(x)$ divide $p(x)$. Aqui, $q(x)$ tem grau 3, então o resto, se existir, terá grau no máximo 2 — e para a divisibilidade ele deve ser identicamente nulo.

Vamos aplicar o método da chave. Dividimos o termo de maior grau de $p(x)$ pelo de maior grau de $q(x)$:

Multiplicamos $q(x)$ por $-3x^2$ e subtraímos de $p(x)$:

Subtraindo:

Agora dividimos $6x^4$ por $-2x^3$, obtendo $-3x$:

Subtraindo do resto anterior:

Dividimos $-4x^3$ por $-2x^3$, obtendo $2$:

Subtraindo:

Este é o resto da divisão. Para que $p(x)$ seja divisível por $q(x)$, o resto deve ser o polinômio nulo, ou seja, todos os coeficientes devem ser zero:

Portanto, $a + b + c = 5 + (-7) + 2 = 0$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $a + b + c = -2$. Esse valor não corresponde à soma obtida. O candidato que erra aqui provavelmente cometeu um erro de sinal na divisão (por exemplo, trocando o sinal de algum coeficiente) ou não igualou corretamente o resto a zero. Com os valores corretos ($a=5$, $b=-7$, $c=2$), a soma é $0$, não $-2$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $a + b + c = -1$. Também não corresponde. Esse distrator pode surgir de um erro na subtração dos termos de grau 2 ou na interpretação do resto. Refaça a divisão com atenção aos sinais: o resto final é $(a-5)x^2 + (b+7)x + (c-2)$, e igualar cada coeficiente a zero leva a $a=5$, $b=-7$, $c=2$.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a divisão de $p(x)$ por $q(x)$ tem resto $(a-5)x^2 + (b+7)x + (c-2)$. Para a divisibilidade, esse resto deve ser nulo, o que implica $a=5$, $b=-7$ e $c=2$. Assim, $a + b + c = 5 - 7 + 2 = 0$. A alternativa está correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $a + b + c = 1$. Não corresponde. Esse valor poderia surgir se o aluno considerasse apenas um dos coeficientes ou errasse a soma final. Lembre-se: a condição de divisibilidade exige que TODOS os coeficientes do resto sejam zero, não apenas um.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $a + b + c = 2$. Também incorreto. Esse distrator pode vir de um erro de sinal em $b$ ou $c$. Com os valores corretos, a soma é $0$.

Gabarito: letra C