Matemática · FUNDATEC · 2025 | Questão sqc-qg473255

Derivada do volume da esfera em relação ao raio

Gabarito: letra C. A taxa de variação do volume de uma esfera em relação ao seu raio é a derivada de $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ em relação a $r$ , que resulta em $V'(r) = 4\pi r^2$ , exatamente a fórmula da área da superfície esférica. Essa relação é um clássico da geometria: a derivada do volume em relação ao raio é a área da superfície.

A questão explora a conexão entre cálculo diferencial e geometria espacial. O volume de uma esfera é dado por $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . Derivando em relação a $r$ :

\frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 = 4\pi r^2

E $4\pi r^2$ é precisamente a fórmula da área da superfície esférica. Essa propriedade não é coincidência: ela reflete o fato de que, ao aumentar o raio de uma esfera por uma quantidade infinitesimal $dr$ , o acréscimo de volume é aproximadamente a área da superfície multiplicada por $dr$ — como se fosse uma "casca" de espessura $dr$ .

A banca testa se o candidato conhece as fórmulas e sabe derivar. A pegadinha está em confundir a derivada com outras grandezas, como o raio, o diâmetro ou frações da área.

1V = 4/3 π r³
2dV/dr = 4π r²
3= área da superfície

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a taxa de variação é o raio. Isso seria a derivada de uma função linear do tipo $V = k \cdot r$ , o que não é o caso. O volume é proporcional a $r^3$ , então a derivada é proporcional a $r^2$ , não a $r$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que é o diâmetro. O diâmetro é $2r$ , uma grandeza linear. A derivada do volume é $4\pi r^2$ , que é uma grandeza de área, não linear. Não há relação direta com o diâmetro.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A derivada do volume em relação ao raio é $4\pi r^2$ , que é exatamente a fórmula da área da superfície esférica. Portanto, a taxa de variação do volume é igual à área da superfície.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que é a metade da área da superfície, ou seja, $2\pi r^2$ . Isso não corresponde à derivada, que é $4\pi r^2$ . A metade da área seria $2\pi r^2$ , que não tem significado geométrico direto nesse contexto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que é a quarta parte da área da superfície, ou seja, $\pi r^2$ . Isso também não corresponde à derivada. A quarta parte da área seria $\pi r^2$ , que é a área de um círculo máximo, mas não a taxa de variação do volume.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a derivada do volume e outras grandezas da esfera. O candidato que não lembra que $\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2$ pode cair em alternativas que citam frações da área ou grandezas lineares. A dica é: sempre que pedirem a taxa de variação do volume em relação ao raio, lembre-se de que ela é a área da superfície — isso vale para qualquer sólido em que o volume é função do raio.

PEGA ESSA DICA!

Para fixar, memorize a relação: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ e $A = 4\pi r^2$ . A derivada de $V$ em relação a $r$ é $A$ . Esse padrão também aparece em outras figuras, como o círculo (área $\pi r^2$ e circunferência $2\pi r$ ).

Gabarito: letra C