GabaritoD — 1.
Gabarito: letra D — a conta chega a a² + b² + c² = 1, alternativa D..
As relações de Girard conectam os coeficientes de um polinômio com as somas e produtos de suas raízes, sem precisar encontrá-las explicitamente. Para um polinômio cúbico da forma x³ + px² + qx + r = 0, valem: a+b+c = −p, ab+ac+bc = q e abc = −r. A soma dos quadrados das raízes não é dada diretamente, mas pode ser obtida pela identidade (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+ac+bc), que relaciona o quadrado da soma com a soma dos quadrados e a soma dos produtos dois a dois. Nesta questão, usamos as relações de Girard para extrair a soma e a soma dos produtos dois a dois dos coeficientes, e então aplicamos a identidade para calcular a soma dos quadrados.
equação: x³ − 3x² + 4x − 2 = 0
raízes: a, b, c
O que queremos: o valor de a² + b² + c²
As relações de Girard usam os coeficientes do polinômio para achar somas e produtos das raízes. Precisamos reconhecer quem é p, q e r na forma geral x³ + px² + qx + r = 0.
Confundir o sinal: o coeficiente de x² é −3, então p = −3, não 3.
A primeira relação de Girard diz que a soma das raízes é o oposto do coeficiente de x². Isso nos dá a+b+c, que será usado na identidade do quadrado da soma.
Por que esta fórmula: Para um polinômio cúbico com coeficiente líder 1, a soma das raízes é −p, onde p é o coeficiente de x².
De onde vem cada valor: = passo 1: p = −3
Esquecer o sinal de menos: usar p = −3 e obter −3 em vez de 3.
A segunda relação de Girard fornece ab+ac+bc, que também aparece na identidade do quadrado da soma. Precisamos desse valor para subtrair.
Por que esta fórmula: Para um polinômio cúbico com coeficiente líder 1, a soma dos produtos dois a dois é igual ao coeficiente de x (q).
De onde vem cada valor: = passo 1: q = 4
Usar o termo independente r = −2 em vez de q = 4.
A expressão pedida, a²+b²+c², não é dada diretamente pelas relações de Girard. A identidade (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+ac+bc) relaciona o que temos (a+b+c e ab+ac+bc) com o que queremos.
Por que esta fórmula: Esta é uma identidade algébrica que expande o quadrado de uma soma de três termos. Ela é útil porque permite isolar a soma dos quadrados a partir de quantidades que conhecemos.
De onde vem cada valor: = passo 2: 3 · = passo 3: 4
Esquecer o fator 2 multiplicando a soma dos produtos dois a dois.
Precisamos deixar a²+b²+c² sozinho de um lado da equação para encontrar seu valor. Isso é feito subtraindo 2(ab+ac+bc) dos dois lados.
Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: subtrair o termo 2(ab+ac+bc) de ambos os lados da identidade.
De onde vem cada valor: = passo 4: 3² · = passo 3: 4
Somar em vez de subtrair, obtendo 9 + 8 = 17.
Agora temos uma expressão numérica simples. Basta fazer as operações: 3² = 9 e 2·4 = 8, depois subtrair.
Errar a ordem das operações ou calcular 2·4 como 6.
Resposta: a² + b² + c² = 1, alternativa D.
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