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Questão de Matemática — Probabilidade — FUNDATEC 2025

MatemáticaProbabilidade
Código
qg473258
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF Sertão - PE
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Matemática
Em uma fábrica, 3 máquinas (X, Y e Z) produzem taças de um mesmo tipo. A máquina X produz 60% das taças, a Y produz 30%, e a Z, 10%. A porcentagem de taças defeituosas varia conforme a máquina:• Máquina X: 1% das peças são defeituosas. • Máquina Y: 4% das peças são defeituosas. • Máquina Z: 5% das peças são defeituosas. Uma taça é escolhida aleatoriamente do estoque de produção dessa fábrica. Qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina X, dado que a peça está com defeito?
  1. A5/23.
  2. B6/23.
  3. C7/23.
  4. D8/23.
  5. E9/23.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 6/23.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 6/23 (letra B).

A ideia por trás

A probabilidade condicional mede a chance de um evento ocorrer dado que outro já ocorreu. Quando temos probabilidades condicionais em uma direção (defeito dado a máquina) e queremos a inversa (máquina dado defeito), usamos o Teorema de Bayes. Esse teorema combina as probabilidades de cada máquina com suas taxas de defeito para calcular a chance de cada máquina ser a origem de um defeito. Nesta questão, precisamos inverter a condição: sabemos P(D|X), P(D|Y), P(D|Z) e queremos P(X|D). O denominador é a probabilidade total de defeito, que soma as contribuições de todas as máquinas.

O que a questão dá

  • P(X) = 60% = 0,60

  • P(Y) = 30% = 0,30

  • P(Z) = 10% = 0,10

  • P(D|X) = 1% = 0,01

  • P(D|Y) = 4% = 0,04

  • P(D|Z) = 5% = 0,05

O que queremos: a probabilidade de a taça ter sido produzida pela máquina X, dado que ela é defeituosa, ou seja, P(X|D)

Passo 1 — Calcular a contribuição de cada máquina para o total de defeitos

Para usar o Teorema de Bayes, precisamos saber quanto cada máquina contribui para o total de defeitos. Isso é a probabilidade de a peça vir da máquina vezes a probabilidade de defeito nessa máquina.

Por que esta fórmula: A contribuição de cada máquina é o produto da probabilidade de a peça ser produzida por ela pela probabilidade de defeito nela, pois queremos a parcela de defeitos que vem de cada máquina.

Ci=P(Mi)⋅P(D∣Mi)C_i = P(M_i) \cdot P(D|M_i)

De onde vem cada valor: P(Mi)P(M_i) = enunciado: P(X)=0,60, P(Y)=0,30, P(Z)=0,10 · P(D∣Mi)P(D|M_i) = enunciado: P(D|X)=0,01, P(D|Y)=0,04, P(D|Z)=0,05

CX=0,60⋅0,01=0,006;CY=0,30⋅0,04=0,012;CZ=0,10⋅0,05=0,005C_X = 0{,}60 \cdot 0{,}01 = 0{,}006; C_Y = 0{,}30 \cdot 0{,}04 = 0{,}012; C_Z = 0{,}10 \cdot 0{,}05 = 0{,}005

C_X = 0,006; C_Y = 0,012; C_Z = 0,005

NÃO CAIA NESSA!

Usar as porcentagens sem converter para decimal (ex.: 60 em vez de 0,60) — isso multiplica o resultado por 100.

Passo 2 — Somar as contribuições para obter a probabilidade total de defeito

O Teorema de Bayes exige a probabilidade total de defeito no denominador. Essa probabilidade é a soma das contribuições de todas as máquinas, pois qualquer defeito vem de uma delas.

Por que esta fórmula: A probabilidade total de um evento é a soma das probabilidades de cada caminho que leva a ele, desde que os caminhos sejam mutuamente exclusivos (cada peça vem de uma única máquina).

P(D)=CX+CY+CZP(D) = C_X + C_Y + C_Z

De onde vem cada valor: CXC_X = passo 1: 0,006 · CYC_Y = passo 1: 0,012 · CZC_Z = passo 1: 0,005

P(D)=0,006+0,012+0,005P(D) = 0{,}006 + 0{,}012 + 0{,}005
P(D)=0,023P(D) = \boxed{0{,}023}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar uma das contribuições, ou somar as taxas de defeito diretamente (0,01+0,04+0,05) sem ponderar pelas proporções de produção.

Passo 3 — Aplicar o Teorema de Bayes para a máquina X

Agora temos todos os ingredientes: a contribuição da máquina X (numerador) e a probabilidade total de defeito (denominador). O Teorema de Bayes nos dá a probabilidade de a peça defeituosa ter vindo de X.

Por que esta fórmula: O Teorema de Bayes é a fórmula que inverte a probabilidade condicional: P(X|D) = P(D|X)·P(X) / P(D). O numerador é a contribuição de X para os defeitos, e o denominador é o total de defeitos.

P(X∣D)=P(D∣X)⋅P(X)P(D)P(X|D) = \frac{P(D|X) \cdot P(X)}{P(D)}

De onde vem cada valor: P(D∣X)P(D|X) = enunciado: 0,01 · P(X)P(X) = enunciado: 0,60 · P(D)P(D) = passo 2: 0,023

P(X∣D)=0,01⋅0,600,023=0,0060,023P(X|D) = \frac{0{,}01 \cdot 0{,}60}{0{,}023} = \frac{0{,}006}{0{,}023}
P(X∣D)=0,2609 ...P(X|D) = \boxed{0{,}2609\ ...}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter o numerador e o denominador, ou usar P(D|X) = 1% diretamente como resposta, esquecendo de dividir pela probabilidade total de defeito.

Passo 4 — Simplificar a fração para a forma pedida

As alternativas estão em frações com denominador 23. Precisamos transformar 0,006/0,023 em uma fração equivalente.

Por que esta fórmula: Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por 1000 para eliminar as casas decimais, obtendo 6/23.

0,0060,023=623\frac{0{,}006}{0{,}023} = \frac{6}{23}

De onde vem cada valor: 0,0060{,}006 = passo 3: numerador · 0,0230{,}023 = passo 2: denominador

0,0060,023=623=6 /23\frac{0{,}006}{0{,}023} = \frac{6}{23} = \boxed{6\ /23}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar corretamente, ou arredondar para 0,26 e escolher uma alternativa errada.

Resposta: 6/23 (letra B)

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