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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FUNDATEC 2025

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
qg473259
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF Sertão - PE
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Matemática
Considere um corpo, inicialmente em repouso, que se desloca sobre uma reta com movimentos de 10−³m para a esquerda ou para a direita. De quantas formas distintas esse corpo pode realizar 8 movimentos, de modo que finalize tais movimentos em sua posição inicial?
  1. A60.
  2. B70.
  3. C80.
  4. D90.
  5. E100.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 70.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 70 formas distintas (alternativa B).

A ideia por trás

Este problema é de análise combinatória, especificamente de permutações com repetição. Quando temos uma sequência de eventos com dois tipos de resultados (como esquerda e direita), e queremos contar quantas ordens diferentes produzem um certo resultado final, usamos a permutação com repetição. A fórmula é P(n; a, b) = n! / (a! · b!), onde n é o total de eventos, a é quantas vezes um tipo aparece e b é quantas vezes o outro aparece. Essa fórmula conta todas as maneiras de organizar os eventos, levando em conta que os eventos do mesmo tipo são idênticos entre si. Nesta questão, o corpo precisa dar 8 passos, e para voltar ao início, o número de passos para a direita deve ser igual ao número de passos para a esquerda, ou seja, 4 de cada. Portanto, precisamos calcular quantas sequências de 4 D e 4 E existem.

O que a questão dá

  • 8 movimentos no total

  • cada movimento é de 10⁻³ m para a esquerda ou para a direita

  • corpo inicia em repouso na posição inicial

O que queremos: o número de sequências distintas de 8 movimentos que terminam na posição inicial

Passo 1 — Descobrir quantos movimentos para cada lado

Para voltar à posição inicial, o corpo precisa dar a mesma quantidade de passos para a direita e para a esquerda. Como são 8 movimentos no total, dividimos igualmente: 4 para cada lado. Esse é o ponto de partida, pois define quantas vezes cada letra (D e E) aparece na sequência.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui, apenas raciocínio: se o total é 8 e os dois lados devem ter a mesma quantidade, então cada lado tem 8 ÷ 2 = 4.

4 movimentos para a direita e 4 para a esquerda

NÃO CAIA NESSA!

Achar que poderia ser 3 e 5, mas isso não retornaria à origem.

Passo 2 — Montar a fórmula de permutação com repetição

Agora que sabemos que temos 8 posições na sequência, com 4 repetições de D e 4 de E, precisamos contar de quantas ordens diferentes podemos arranjá-las. A permutação com repetição é exatamente a ferramenta para isso, pois considera que os D são idênticos entre si e os E também.

Por que esta fórmula: A fórmula P(n; a, b) = n! / (a! · b!) conta o número de sequências distintas quando temos n elementos, com a repetições de um tipo e b de outro. É a única que leva em conta a ordem e as repetições.

P_8^4,4 = (8!)/(4! · 4!)

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: 8 movimentos · 44 = passo 1: 4 movimentos para cada lado

P=8!4!⋅4!P = \frac{8!}{4! \cdot 4!}
NÃO CAIA NESSA!

Usar combinação C(8,4) sem perceber que aqui a ordem importa, embora o resultado coincida.

Passo 3 — Calcular os fatoriais

Para obter o número, precisamos calcular 8! e 4! · 4!. Fatorial é o produto de todos os inteiros positivos até o número, e é a base da fórmula.

Por que esta fórmula: Cálculo direto: 8! = 8×7×6×5×4×3×2×1 = 40320; 4! = 4×3×2×1 = 24.

8!=40320,4!=248! = 40320, \quad 4! = 24

De onde vem cada valor: 8!8! = definição de fatorial · 4!4! = definição de fatorial

8!=40320,4!=24=40320e248! = 40320, \quad 4! = 24 = \boxed{40320 e 24}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o cálculo do fatorial, como esquecer de multiplicar algum número.

Passo 4 — Dividir para obter o número de sequências

Com os fatoriais calculados, basta substituir na fórmula e fazer a divisão para achar quantas sequências distintas existem.

Por que esta fórmula: A divisão é a operação final da fórmula de permutação com repetição.

P=4032024⋅24P = \frac{40320}{24 \cdot 24}

De onde vem cada valor: 4032040320 = passo 3: 8! · 2424 = passo 3: 4!

P=40320576=70P = \frac{40320}{576} = \boxed{70}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 40320 por 24 apenas, esquecendo de multiplicar os dois 4!, o que daria 1680.

Resposta: 70 formas distintas (alternativa B)

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