GabaritoE — 660.
Gabarito: letra E — a conta chega a 660 maneiras (alternativa E).
A paridade de uma soma de números inteiros depende apenas da quantidade de números ímpares entre as parcelas: a soma é ímpar quando essa quantidade é ímpar. Como estamos escolhendo 3 elementos, a soma será ímpar em dois casos: ou escolhemos 1 ímpar e 2 pares, ou escolhemos 3 ímpares. Para contar de quantas maneiras isso pode acontecer, usamos a combinação simples, pois a ordem dos elementos escolhidos não importa. A combinação C(n, k) conta quantos subconjuntos de k elementos podemos formar a partir de um conjunto com n elementos, e é calculada por C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]. Nesta questão, precisamos separar os elementos de A em ímpares e pares, contar quantos há de cada, e então aplicar a combinação para cada caso, somando os resultados.
conjunto A = {1, 2, 3, ..., 21}
escolher 3 elementos
soma dos 3 elementos deve ser ímpar
O que queremos: o número de maneiras de escolher 3 elementos de A com soma ímpar
Para saber de quantas maneiras podemos escolher os elementos, precisamos saber quantos ímpares e quantos pares existem no conjunto. Isso é essencial porque a condição da soma ímpar depende da quantidade de ímpares escolhidos.
Contar 10 ímpares em vez de 11, esquecendo que 21 é ímpar.
Um dos casos que resulta em soma ímpar é escolher exatamente 1 ímpar e 2 pares. Precisamos calcular de quantas maneiras podemos fazer essa escolha, usando combinação porque a ordem não importa.
Por que esta fórmula: Usamos combinação simples porque a ordem dos elementos escolhidos não importa. A fórmula C(n, k) = n! / [k!(n-k)!] conta quantos subconjuntos de k elementos podemos formar a partir de n elementos.
De onde vem cada valor: = passo 1: 11 ímpares · = passo 1: 10 pares
Esquecer de multiplicar as duas combinações, ou calcular C(10,2) errado (por exemplo, 10×9 = 90 em vez de 45).
O outro caso que resulta em soma ímpar é escolher 3 ímpares. Precisamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 3 ímpares entre os 11 disponíveis.
Por que esta fórmula: Novamente usamos combinação simples, pois a ordem não importa. Aqui escolhemos 3 elementos de um conjunto de 11.
De onde vem cada valor: = passo 1: 11 ímpares
Errar o cálculo do fatorial, por exemplo, esquecer de dividir por 6.
Os dois casos (1 ímpar e 2 pares, e 3 ímpares) são mutuamente exclusivos e juntos cobrem todas as possibilidades de soma ímpar. Portanto, o total de maneiras é a soma das combinações calculadas.
Por que esta fórmula: Como os casos não se sobrepõem, usamos o princípio aditivo: somamos as quantidades de cada caso.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 3
Esquecer de somar um dos casos, resultando em 495 ou 165.
Resposta: 660 maneiras (alternativa E)
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