Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FUNDATEC 2025

Funções injetoras entre conjuntos finitos

Gabarito: letra D — o número de funções injetoras de um conjunto com 5 elementos em um conjunto com 9 elementos é dado pelo arranjo simples $A_{9,5} = \frac{9!}{4!}$, que corresponde exatamente à alternativa D.

Uma função injetora (ou injetiva) é aquela em que elementos distintos do domínio têm imagens distintas no contradomínio. Em outras palavras, cada elemento de A deve ser associado a um elemento diferente de B — não pode haver dois elementos de A apontando para o mesmo elemento de B. Como A tem 5 elementos e B tem 9, precisamos escolher 5 elementos distintos de B para serem as imagens, e a ordem importa, pois cada elemento de A é associado a uma imagem específica.

O raciocínio clássico usa o princípio multiplicativo: para o primeiro elemento de A, temos 9 opções em B; para o segundo, 8 opções (já usamos uma); para o terceiro, 7; para o quarto, 6; para o quinto, 5. Multiplicando: $9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = \frac{9!}{4!}$. Essa expressão é exatamente o arranjo simples de 9 elementos tomados 5 a 5, denotado $A_{9,5}$.

A pegadinha da questão está em reconhecer que se trata de um arranjo (ordem importa), não de uma combinação (ordem não importa). Se fosse uma combinação, usaríamos $C_{9,5} = \frac{9!}{5! \cdot 4!}$, que não aparece nas alternativas. A alternativa E ($9!/5!$) corresponde ao arranjo de 9 tomados 4 a 4, e a alternativa C ($9!$) seria o número de permutações de 9 elementos, sem relação direta com o problema.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$4! = 24$ não corresponde a nenhuma contagem relevante aqui. Esse número seria o total de permutações de 4 elementos, mas não há relação com o problema de associar 5 elementos de A a 9 de B.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$5! = 120$ seria o número de permutações dos 5 elementos de A, mas isso não considera as escolhas das imagens em B. A ordem dos elementos de A é fixa (cada elemento tem seu lugar), então permutar os elementos de A não faz sentido.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$9!$ é o número de permutações de todos os 9 elementos de B. Isso seria relevante se estivéssemos permutando B inteiro, mas aqui precisamos escolher apenas 5 imagens distintas, não permutar todos os 9.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\frac{9!}{4!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 15120$. Esse é o número de maneiras de escolher e ordenar 5 elementos distintos de B para serem as imagens dos 5 elementos de A. É o arranjo simples $A_{9,5}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$ seria o arranjo de 9 elementos tomados 4 a 4, ou seja, se A tivesse 4 elementos. Como A tem 5, o denominador correto é $4!$, não $5!$.

Gabarito: letra D