Questão de Matemática — Matrizes — FUNDATEC 2025

Álgebra Linear: Matrizes de Rotação

Gabarito: letra B. A matriz resultante de rotações consecutivas é obtida pelo produto das matrizes individuais $R = R_z(90^\circ) \cdot R_y(90^\circ) \cdot R_x(90^\circ)$. Para um ângulo de $90^\circ$, temos $\cos(90^\circ) = 0$, $\sin(90^\circ) = 1$ e $-\sin(90^\circ) = -1$. Substituindo esses valores nas matrizes fornecidas:

$R_x(90^\circ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $R_y(90^\circ) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $R_z(90^\circ) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Realizando o produto $R_y \cdot R_x$ primeiro:

$R_{yx} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Agora, multiplicando pelo resultado de $R_z$:

$R = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Esta matriz corresponde exatamente à alternativa B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta matriz resulta de uma operação diferente ou erro na ordem de multiplicação das matrizes de rotação.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Corresponde ao produto correto das matrizes de rotação para $90^\circ$ na ordem especificada ($z, y, x$).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta matriz não representa a composição das rotações solicitadas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta matriz não representa a composição das rotações solicitadas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta matriz é a matriz identidade, que representaria uma rotação de $0^\circ$ (ou múltiplos de $360^\circ$), não de $90^\circ$.