Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2025

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 15 anos (alternativa B).

A ideia por trás

A média aritmética é uma medida que resume um conjunto de valores: ela indica o valor que cada elemento teria se todos fossem iguais, mantendo a mesma soma total. Para calculá-la, somamos todos os valores e dividimos pela quantidade de elementos. Em problemas de média, muitas vezes é mais útil trabalhar com a soma total do que com os valores individuais, pois a média esconde a soma.

A relação fundamental é: soma = média × quantidade. Se a média aumenta, a soma aumenta na mesma proporção multiplicada pela quantidade. Por exemplo, se a média de 5 elementos aumenta em 1, a soma total aumenta em 5. Isso acontece porque a média é a soma dividida por 5, então para a média subir 1, a soma precisa subir 5.

Nesta questão, temos duas médias diferentes para o mesmo grupo de 5 alunos, com uma única alteração: a idade do mais velho foi trocada por 20. A diferença entre as somas totais nos diz exatamente quanto a idade antiga difere de 20, permitindo descobrir a idade original.

O que a questão dá

• número de alunos = 5

• média inicial = 16 anos

• nova idade do mais velho = 20 anos

• nova média = 17 anos

O que queremos: a idade original do aluno mais velho

Passo 1 — Calcular a soma inicial das idades

A média sozinha não nos dá a idade de ninguém, mas a soma total sim. Como a média é a soma dividida pela quantidade, multiplicando a média pela quantidade obtemos a soma de todas as idades. Precisamos dessa soma para comparar com a situação depois da troca.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética: média = soma / quantidade. Isolando a soma, temos soma = média × quantidade.

De onde vem cada valor: $\bar{x}_{inicial}$ = enunciado: média inicial = 16 anos · $n$ = enunciado: 5 alunos

Passo 2 — Calcular a nova soma das idades

Depois da troca, a média mudou para 17. Com a mesma quantidade de alunos, a nova soma total é obtida da mesma forma. Essa nova soma será comparada com a inicial para descobrir a variação causada pela substituição.

Por que esta fórmula: Mesma relação entre média e soma, agora com os novos valores.

De onde vem cada valor: $\bar{x}_{nova}$ = enunciado: nova média = 17 anos · $n$ = enunciado: 5 alunos

Passo 3 — Descobrir a diferença entre as somas

A única mudança entre as duas situações foi a idade do mais velho: ela saiu de um valor x e virou 20. Portanto, a diferença entre as somas é exatamente a diferença entre 20 e x. Subtrair as somas nos dá essa diferença.

Por que esta fórmula: A variação da soma total é igual à variação de um dos elementos, já que os outros quatro não mudaram.

De onde vem cada valor: $S_{nova}$ = passo 2: 85 anos · $S_{inicial}$ = passo 1: 80 anos

Passo 4 — Montar a equação da troca de idade

Sabemos que a diferença entre as somas é 5, e essa diferença veio da troca da idade antiga x por 20. Então, a nova idade (20) menos a antiga (x) deve ser igual a 5. Isso nos dá uma equação simples para achar x.

Por que esta fórmula: A variação da soma é igual à variação do elemento trocado: 20 - x = ΔS.

De onde vem cada valor: $20$ = enunciado: nova idade do mais velho = 20 anos · $\Delta S$ = passo 3: 5 anos

Passo 5 — Isolar a idade original x

A equação 20 - x = 5 tem a incógnita x subtraída. Para descobrir seu valor, precisamos isolá-la, passando os termos de forma que x fique sozinho de um lado.

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: subtrair 20 dos dois lados e depois multiplicar por -1.

De onde vem cada valor: $20$ = enunciado: nova idade do mais velho = 20 anos · $\Delta S$ = passo 3: 5 anos

Resposta: 15 anos (alternativa B)