GabaritoB — O(-1,4) e r = 3
Gabarito: letra B. O centro é O(-1, 4) e o raio é r = 3. Para encontrar esses valores, completamos os quadrados na equação geral x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0, transformando-a na forma reduzida (x − a)² + (y − b)² = r², onde (a, b) é o centro e r o raio.
A equação geral de uma circunferência é x² + y² + Dx + Ey + F = 0. O centro é dado por (−D/2, −E/2) e o raio por r² = (D/2)² + (E/2)² − F. Nesta questão, D = 2, E = −8 e F = 8. Aplicando as fórmulas: centro = (−2/2, −(−8)/2) = (−1, 4) e r² = (2/2)² + (−8/2)² − 8 = 1 + 16 − 8 = 9, logo r = 3. A alternativa B é a única que apresenta exatamente esses valores.
A pegadinha clássica é inverter os sinais das coordenadas do centro: muitos candidatos, ao verem +2x e −8y, marcam O(1, −4) ou O(2, −8), esquecendo que na forma reduzida o centro é (x − a)² + (y − b)², então o sinal é trocado. Vamos ver cada alternativa.
O(1, −4) e r = 3. O raio está correto, mas o centro está com os sinais trocados. O centro correto é (−1, 4), pois na forma reduzida temos (x + 1)² + (y − 4)² = 9, ou seja, x − (−1) e y − 4. A banca explora exatamente essa inversão de sinais.
O(−1, 4) e r = 3. Completando os quadrados: x² + 2x + y² − 8y + 8 = 0 → (x² + 2x + 1) + (y² − 8y + 16) = −8 + 1 + 16 → (x + 1)² + (y − 4)² = 9. Portanto, centro (−1, 4) e raio √9 = 3.
O(0, 0) e r = 8. O centro não é a origem, pois há termos lineares (2x e −8y) que deslocam o centro. O raio também não é 8: o termo independente 8 não é o raio, e sim o F da equação geral. O raio é 3.
O(2, −8) e r = 4. Aqui o candidato pode ter confundido os coeficientes D e E com as coordenadas do centro, mas o centro é (−D/2, −E/2) = (−1, 4). O raio 4 também não corresponde: r² = 9, logo r = 3.
O(−2, 8) e r = 4. Novamente, os valores de D e E aparecem como centro, mas com sinais parcialmente corretos. O centro correto é (−1, 4), e o raio é 3, não 4.
A banca adora inverter os sinais das coordenadas do centro. Na forma reduzida (x − a)² + (y − b)², o centro é (a, b), então se a equação tem +2x, o centro tem x = −1. Não confunda os coeficientes D e E com as coordenadas do centro: use as fórmulas a = −D/2 e b = −E/2.
Para resolver rápido, memorize: centro = (−D/2, −E/2) e r² = (D/2)² + (E/2)² − F. Ou, se preferir, complete os quadrados sempre. Treine com equações variadas para fixar o método.
Gabarito: letra B
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