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Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2025

MatemáticaProgressões
Código
qg475598
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Cerro Grande - RS
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Técnico de Enfermagem
Qual é o quarto termo de uma progressão geométrica (PG) que possui razão igual a 3 e cujo primeiro termo é 9?
  1. A18.
  2. B21.
  3. C36.
  4. D243.
  5. E729.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 243.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 243 (alternativa D).

A ideia por trás

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão (q). Ela modela crescimentos ou decrescimentos proporcionais, como juros compostos ou multiplicação de bactérias. O termo geral de uma PG é dado por a_n = a_1 · q^(n-1), onde a_1 é o primeiro termo, q é a razão e n é a posição do termo. Essa fórmula mostra que o termo cresce exponencialmente com a posição: quanto maior a razão, mais rápido os termos aumentam. Nesta questão, temos a_1 = 9 e q = 3, e queremos o quarto termo (n = 4). Basta aplicar a fórmula do termo geral, lembrando que o expoente é n-1, ou seja, 3.

O que a questão dá

  • primeiro termo (a1) = 9

  • razão (q) = 3

  • posição do termo procurado (n) = 4

O que queremos: o quarto termo da progressão geométrica

Passo 1 — Montar a fórmula do termo geral

Para encontrar um termo específico de uma progressão geométrica sem precisar escrever todos os anteriores, usamos a fórmula do termo geral. Ela relaciona o primeiro termo, a razão e a posição do termo desejado.

Por que esta fórmula: A fórmula a_n = a_1 · q^(n-1) é a definição do termo geral de uma PG: cada termo é o primeiro multiplicado pela razão elevada ao número de passos (n-1) para chegar até ele.

an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

De onde vem cada valor: ana_n = termo que queremos (quarto termo) · a1a_1 = enunciado: primeiro termo = 9 · qq = enunciado: razão = 3 · nn = enunciado: posição = 4

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o expoente é n-1 e usar n, o que daria o quinto termo em vez do quarto.

Passo 2 — Substituir os valores na fórmula

Agora que temos a fórmula, precisamos colocar os números do enunciado nela. Isso nos dá a expressão que vamos calcular.

Por que esta fórmula: Substituímos a_1 por 9, q por 3 e n por 4 na fórmula do termo geral.

a_4 = 9 · 3^4-1

De onde vem cada valor: 99 = enunciado: primeiro termo = 9 · 33 = enunciado: razão = 3 · 4−14-1 = posição 4 menos 1, pois o primeiro termo já é dado

a_4 = 9 · 3^4-1
NÃO CAIA NESSA!

Trocar 4-1 por 4, resultando em 9·3^4 = 729 (quinto termo).

Passo 3 — Calcular a potência

Precisamos resolver a potência 3^3 para simplificar a expressão. Potência é uma multiplicação repetida: 3^3 = 3·3·3.

Por que esta fórmula: A potência 3^3 significa multiplicar 3 por ele mesmo três vezes.

33=3⋅3⋅33^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3

De onde vem cada valor: 333^{3} = passo 2: expoente 3

33=3⋅3⋅3=273^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = \boxed{27}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 3·3 = 9 e esquecer de multiplicar pelo terceiro 3, obtendo 9 em vez de 27.

Passo 4 — Multiplicar pelo primeiro termo

Com a potência calculada, falta multiplicar pelo primeiro termo para obter o quarto termo da PG.

Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral indica que o termo é o primeiro termo vezes a potência da razão.

a4=9⋅27a_4 = 9 \cdot 27

De onde vem cada valor: 99 = enunciado: primeiro termo = 9 · 2727 = passo 3: resultado de 3^3

a4=9⋅27=243a_4 = 9 \cdot 27 = \boxed{243}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 9 por 3 diretamente (dando 27) e achar que é o quarto termo, esquecendo que 27 é o segundo termo.

Resposta: 243 (alternativa D)

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