Matemática · FUNDATEC · 2025 | Questão sqc-qg476064

Geometria Espacial: esfera e cubo inscrito

Gabarito: letra D. A razão entre o volume da esfera e o do cubo inscrito é $\frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ , pois o volume da esfera é $\frac{4\pi R^3}{3}$ e o do cubo inscrito é $\frac{8R^3}{3\sqrt{3}}$ , e a divisão entre eles resulta exatamente nesse valor.

O problema envolve dois sólidos clássicos: a esfera de raio $R$ e o cubo inscrito nela. O ponto central é relacionar a aresta do cubo com o raio da esfera. Quando um cubo está inscrito em uma esfera, todos os seus vértices pertencem à superfície esférica. A diagonal do cubo (segmento que liga dois vértices opostos) coincide com o diâmetro da esfera. Essa é a chave para encontrar a aresta do cubo em função de $R$ .

A diagonal de um cubo de aresta $a$ é $a\sqrt{3}$ . Como essa diagonal é igual ao diâmetro da esfera ( $2R$ ), temos:

a\sqrt{3} = 2R \Rightarrow a = \frac{2R}{\sqrt{3}}

Com a aresta em mãos, calculamos o volume do cubo:

V_2 = a^3 = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}}

O volume da esfera é:

V_1 = \frac{4\pi R^3}{3}

A razão pedida é:

\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4\pi R^3}{3}}{\frac{8R^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{4\pi R^3}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8R^3} = \frac{4\pi \sqrt{3}}{8} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

Razão entre volumes de sólidos — só Sólido 1: 4πR³/3; só Sólido 2: 8R³/(3√3); Sólido 1∩Sólido 2: π√3/2

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $R^3$ , que é apenas a unidade de volume, sem o fator adimensional correto. A razão entre dois volumes é um número puro (adimensional), não pode depender de $R$ — o que já elimina esta opção, pois $R^3$ tem dimensão de volume.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{\pi}{2}$ é o valor que se obteria se o volume do cubo fosse $\frac{8R^3}{3}$ (sem o $\sqrt{3}$ no denominador), ou seja, se a aresta fosse $\frac{2R}{\sqrt[3]{3}}$ — o que não corresponde à relação correta entre a diagonal do cubo e o diâmetro da esfera.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{4\pi}{3}$ é o volume da esfera dividido por $R^3$ (ou seja, $\frac{V_1}{R^3}$ ). A banca troca a razão pedida por uma expressão que não considera o volume do cubo.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a razão é $\frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ . O cálculo completo: $V_1 = \frac{4\pi R^3}{3}$ e $V_2 = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}}$ , logo $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{3\pi\sqrt{3}}{8R}$ é o inverso da razão correta multiplicado por um fator, e ainda contém $R$ no denominador — o que é impossível para uma razão adimensional. Provavelmente foi construída invertendo a fração e esquecendo de simplificar.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre cubo inscrito e esfera inscrita. No cubo inscrito, a diagonal do cubo é o diâmetro da esfera; na esfera inscrita, a aresta do cubo é o diâmetro da esfera. Aqui, como o cubo está dentro da esfera, vale a primeira relação. Quem inverte cai na alternativa B ou E.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de sólidos inscritos, sempre identifique qual medida do sólido interno coincide com o diâmetro do sólido externo. No cubo inscrito em esfera, é a diagonal; na esfera inscrita em cubo, é a aresta. Desenhe o corte e aplique a relação geométrica antes de calcular volumes.

Gabarito: letra D