Matemática · FUNDATEC · 2025 | Questão sqc-qg476337

Geometria Espacial: semiesfera + cone colados

Gabarito: letra D. Ao colar a base da semiesfera sobre a base do cone, as duas bases circulares ficam internas ao novo sólido e deixam de ser superfície externa — por isso a área externa total é menor que a soma das áreas externas individuais ( $A < A_E + A_C$ ). Já o volume é simplesmente a soma dos volumes ( $V = V_E + V_C$ ), pois a colagem não remove nem adiciona material. Essa é a essência da questão: distinguir o que acontece com a área (superfície) e com o volume (interior) quando dois sólidos são unidos.

Vamos entender o porquê com calma. A área externa de um sólido é a medida da sua superfície — a "casca". Quando você tem dois sólidos separados, a área externa total é a soma das áreas de cada um. Porém, ao colá-los por uma face comum, aquela região de contato deixa de estar exposta: ela fica "escondida" dentro do novo objeto. No nosso caso, a base da semiesfera e a base do cone são círculos de mesmo raio $R$ e ficam perfeitamente sobrepostas. Cada uma dessas bases tinha área $\pi R^2$ e contribuía para a área externa de seu sólido. Após a colagem, essas duas superfícies coincidem e não fazem mais parte da superfície externa do conjunto. Portanto, a área externa do novo objeto é:

A = A_E + A_C - 2\pi R^2

Ou seja, $A < A_E + A_C$ .

O volume, por outro lado, é uma medida do espaço ocupado pelo sólido. Colar dois objetos não cria nem destrói matéria — apenas os une. O volume total do novo objeto é exatamente a soma dos volumes das partes:

V = V_E + V_C

Essa é uma propriedade geral: o volume é aditivo, enquanto a área externa não é, porque a superfície de contato desaparece.

Sólidos colados — só Semiesfera: A_E; só Cone: A_C; Semiesfera∩Cone: -2πR²

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $A = A_E + A_C$ e $V < V_E + V_C$ . O primeiro erro está em considerar a área externa como a soma simples das áreas, ignorando que as bases coladas deixam de ser superfície externa. O segundo erro está no volume: a colagem não altera o volume total, que é a soma dos volumes. Portanto, a alternativa erra nos dois pontos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $A = A_E + A_C$ e $V = V_E + V_C$ . Acerta no volume, mas erra na área externa. A área externa do conjunto é menor que a soma das áreas individuais, pois as duas bases circulares sobrepostas ficam internas ao novo sólido e não contribuem para a superfície externa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $A > A_E + A_C$ e $V < V_E + V_C$ . Erra nos dois pontos. A área externa não pode ser maior que a soma das áreas individuais, pois a colagem apenas remove superfície (as bases sobrepostas), nunca adiciona. E o volume é a soma dos volumes, não menor.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $A < A_E + A_C$ e $V = V_E + V_C$ . É exatamente o que ocorre: as duas bases circulares de área $\pi R^2$ cada uma ficam sobrepostas e internas, reduzindo a área externa em $2\pi R^2$ ; o volume, por sua vez, é aditivo, pois a colagem não remove nem cria matéria. A alternativa espelha perfeitamente essas duas propriedades.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $A > A_E + A_C$ e $V > V_E + V_C$ . Erra nos dois pontos. A área externa do conjunto é menor que a soma das áreas individuais, nunca maior. E o volume é exatamente a soma dos volumes, não maior — não há criação de matéria na colagem.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre área e volume. Muitos candidatos pensam que, ao colar dois sólidos, tanto a área quanto o volume aumentam (ou que a área também é aditiva). A chave é lembrar: volume é aditivo, área externa não é — a superfície de contato desaparece. Com esse raciocínio, você elimina as alternativas A, B, C e E de uma vez.

Gabarito: letra D