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Questão de Matemática — Trigonometria — FUNDATEC 2025

MatemáticaTrigonometria
Código
qg476341
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Gravataí - RS
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental - Séries Finais - Matemática
Assinale a alternativa que corresponde, respectivamente, ao período e à amplitude da função f(x)=5 − 2cos ( π/2 x - 11 π/6 )
  1. A4 e 2.
  2. B2 e 4.
  3. C4 e 5.
  4. D4π e 2.
  5. E2π e 7.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 4 e 2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a Período 4 e amplitude 2 — alternativa A..

A ideia por trás

As funções trigonométricas como seno e cosseno descrevem fenômenos periódicos, ou seja, que se repetem em intervalos regulares. O período é o comprimento de um ciclo completo, medido no eixo x, e a amplitude é a distância entre o valor médio (eixo central) e o valor máximo ou mínimo, representando a intensidade da oscilação. Para uma função do tipo f(x) = A + B·cos(Cx + D), o período é dado por P = 2π/|C|, pois o coeficiente C comprime ou estica o gráfico horizontalmente: quanto maior |C|, menor o período. A amplitude é o módulo do coeficiente B, pois ele multiplica a função trigonométrica, determinando o quanto ela se afasta do eixo central. O termo A desloca o gráfico verticalmente, e D desloca horizontalmente, sem afetar período ou amplitude. Nesta questão, precisamos identificar C e B na função dada e aplicar essas fórmulas.

O que a questão dá

  • função: f(x) = 5 − 2cos(π/2 x − 11π/6)

O que queremos: o período e a amplitude da função

Passo 1 — Identificar os coeficientes da função

Para calcular período e amplitude, precisamos reconhecer a forma geral f(x) = A + B·cos(Cx + D). Aqui, A = 5, B = -2, C = π/2 e D = -11π/6. O coeficiente C multiplica x dentro do cosseno, e B é o fator que multiplica o cosseno.

Por que esta fórmula: A forma geral da função cosseno com deslocamentos é f(x) = A + B·cos(Cx + D). Comparando com a função dada, identificamos cada parâmetro.

f(x)=A+Bcos⁡(Cx+D)f(x) = A + B\cos(Cx + D)

De onde vem cada valor: AA = enunciado: 5 · BB = enunciado: -2 · CC = enunciado: π/2 · DD = enunciado: -11π/6

f(x)=5+(−2)cos⁡(π2x+(−11π6))f(x) = 5 + (-2)\cos\left(\frac{\pi}{2}x + \left(-\frac{11\pi}{6}\right)\right)
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o sinal de B: aqui B = -2, mas a amplitude usa o módulo, então o sinal não importa.

Passo 2 — Calcular o período da função

O período é o comprimento de um ciclo completo. Para funções seno e cosseno, a fórmula é P = 2π/|C|, onde C é o coeficiente de x. Aqui C = π/2, então substituímos na fórmula.

Por que esta fórmula: O período da função cosseno básica é 2π. Quando multiplicamos x por C, o gráfico é comprimido ou esticado horizontalmente, então o período fica 2π dividido por |C|.

P=2π∣C∣P = \frac{2\pi}{|C|}

De onde vem cada valor: CC = passo 1: π/2

P=2π∣π2∣=2ππ2=4P = \frac{2\pi}{\left|\frac{\pi}{2}\right|} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão de frações: 2π ÷ (π/2) = 2π × (2/π) = 4, não 1/4 ou π.

Passo 3 — Calcular a amplitude da função

A amplitude é a distância do eixo central até o pico da onda. Ela é dada pelo módulo do coeficiente que multiplica o cosseno, ou seja, |B|. Aqui B = -2, então a amplitude é 2.

Por que esta fórmula: Na forma f(x) = A + B·cos(Cx + D), o termo B determina o quanto a função oscila acima e abaixo do valor central A. A amplitude é sempre positiva, por isso usamos o módulo.

amplitude=∣B∣\text{amplitude} = |B|

De onde vem cada valor: BB = passo 1: -2

amplitude=∣−2∣=2=2\text{amplitude} = |-2| = 2 = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir amplitude com o valor máximo (A + |B| = 7) ou com o termo constante A = 5.

Resposta: Período 4 e amplitude 2 — alternativa A.

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