GabaritoB — 2/3.
Gabarito: letra B — a conta chega a A razão da PG é 2/3, alternativa B..
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência onde a diferença entre termos consecutivos é constante; em três termos, o termo do meio é a média aritmética dos extremos: 2y = x + z. Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência onde a razão entre termos consecutivos é constante; em três termos, o quadrado do termo do meio é o produto dos extremos: (termo do meio)² = (primeiro) · (terceiro). Nesta questão, usamos essas propriedades para montar um sistema e achar os termos, depois calculamos a razão da PG.
(x, y, z) é uma PA
(z+1, y, x) é uma PG decrescente
x + y + z = 18
O que queremos: a razão da PG
Na PA, o termo central é a média aritmética dos extremos, então 2y = x + z. Isso permite usar a soma dada para isolar y.
Por que esta fórmula: Em uma PA de três termos, a propriedade fundamental é que o termo do meio é a média dos outros dois.
De onde vem cada valor: = enunciado: sequência (x, y, z) · = enunciado: sequência (x, y, z) · = enunciado: sequência (x, y, z)
Esquecer que a soma x + y + z = 18 pode ser reescrita como (x + z) + y = 18, e não usar a relação da PA.
Com x + z = 2y, a soma total vira 2y + y = 18, permitindo achar y diretamente.
Por que esta fórmula: A soma dos três termos é dada, e substituímos x + z por 2y para reduzir a uma equação só com y.
De onde vem cada valor: = passo 1: x + z = 2y · = enunciado: termo do meio da PA · = enunciado: x + y + z = 18
Errar a soma: 2y + y = 3y, não 2y.
A PG é (z+1, y, x). Numa PG de três termos, o quadrado do termo do meio é o produto dos extremos, então y² = (z+1)·x. Isso relaciona x e z.
Por que esta fórmula: A propriedade da PG: o termo central é a média geométrica dos extremos, ou seja, (termo do meio)² = (primeiro)·(terceiro).
De onde vem cada valor: = passo 2: y = 6 · = enunciado: primeiro termo da PG · = enunciado: terceiro termo da PG
Usar y² = (z+1)·x, mas esquecer que o termo do meio é y, não x.
Temos duas equações: x + z = 12 (da PA) e (z+1)·x = 36 (da PG). Precisamos resolver para achar x e z.
Por que esta fórmula: Com duas incógnitas e duas equações, podemos isolar uma e substituir na outra.
De onde vem cada valor: = passo 1: x + z = 2y, com y = 6 · = passo 3: 36 = (z+1) · x
Não perceber que x + z = 12 vem de 2y = 12.
Da primeira equação, z = 12 − x. Substituímos na segunda para ficar só com x.
Por que esta fórmula: Isolar uma variável e substituir é o método de resolução de sistemas.
De onde vem cada valor: = passo 4: x + z = 12, então z = 12 − x · = enunciado: z+1 na PG · = enunciado: terceiro termo da PG · = passo 3: 36 = (z+1) · x
Esquecer o +1: escrever (12 − x)·x = 36, o que dá outra equação.
A equação (13 − x)·x = 36 é uma quadrática. Expandimos e resolvemos por Bhaskara.
Por que esta fórmula: Equação do tipo ax² + bx + c = 0 tem solução x = (-b ± √Δ)/(2a), com Δ = b² − 4ac.
De onde vem cada valor: = passo 5: expandir (13 − x)·x = 36 · = passo 5: expandir (13 − x)·x = 36 · = passo 5: expandir (13 − x)·x = 36
x = 9 ou x = 4
Errar o sinal ao expandir: (13 − x)·x = 13x − x², então a equação é −x² + 13x − 36 = 0, ou x² − 13x + 36 = 0.
Temos dois valores possíveis para x. Precisamos ver qual gera uma PG decrescente, como exige o enunciado.
Por que esta fórmula: A condição de PG decrescente é que a razão q esteja entre 0 e 1 (ou seja, os termos diminuem).
De onde vem cada valor: = passo 6: solução da equação · = passo 6: solução da equação
x = 4, z = 8
Parar na primeira solução (x = 9) sem verificar a condição de decrescente.
Com a PG (9, 6, 4), a razão é o termo seguinte dividido pelo anterior.
Por que esta fórmula: A razão de uma PG é constante: q = a₂/a₁ = a₃/a₂.
De onde vem cada valor: = passo 2: y = 6 · = passo 7: z = 8, então z+1 = 9
Inverter a razão: usar (z+1)/y = 9/6 = 3/2, que é a PG crescente.
Resposta: A razão da PG é 2/3, alternativa B.
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