Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2025

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 17 (alternativa A).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante chamada razão. A razão indica o quanto a sequência cresce (ou decresce) a cada passo. Para encontrar um termo em uma posição qualquer sem precisar somar a razão várias vezes, usamos a fórmula do termo geral: a_n = a_1 + (n-1) * r, onde a_1 é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo. Essa fórmula mostra que, para ir do primeiro ao n-ésimo termo, são necessários (n-1) incrementos de razão. Nesta questão, precisamos aplicar essa fórmula com n=5, a_1=5 e r=3, prestando atenção especial ao número de incrementos, que é 4, não 5.

O que a questão dá

• primeiro termo = 5

• razão = 3

• posição do termo desejado = 5

O que queremos: o quinto termo da progressão aritmética

Passo 1 — Identificar os valores dados

Antes de aplicar qualquer fórmula, precisamos saber quais são os valores que vamos usar. Aqui, o enunciado nos dá o primeiro termo (5), a razão (3) e a posição do termo que queremos (5).

Passo 2 — Calcular quantos incrementos são necessários

Para ir do primeiro termo até o quinto, precisamos somar a razão a cada passo. Do primeiro para o segundo é 1 incremento, do segundo para o terceiro é outro, e assim por diante. Então, do primeiro ao quinto são 4 incrementos, porque o primeiro termo já é dado.

Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral usa (n-1) exatamente para contar esses incrementos: se n é a posição, subtraímos 1 porque o primeiro termo não precisa de incremento.

De onde vem cada valor: $n$ = enunciado: posição do termo desejado = 5

Passo 3 — Aplicar a fórmula do termo geral

Com o número de incrementos (4) e os valores de a_1 e r, podemos calcular o quinto termo diretamente pela fórmula, sem precisar escrever a sequência inteira.

Por que esta fórmula: A fórmula a_n = a_1 + (n-1) * r é a definição do termo geral de uma PA: ela soma o primeiro termo com a razão multiplicada pelo número de incrementos. É a forma mais direta de encontrar qualquer termo.

De onde vem cada valor: $a_1$ = enunciado: primeiro termo = 5 · $n$ = enunciado: posição do termo desejado = 5 · $r$ = enunciado: razão = 3

Passo 4 — Resolver a multiplicação

Dentro da fórmula, primeiro resolvemos a multiplicação (4 * 3) para depois somar com o primeiro termo. Isso segue a ordem das operações matemáticas.

Por que esta fórmula: A multiplicação 4 * 3 representa os 4 incrementos de razão 3: cada incremento adiciona 3, então 4 incrementos adicionam 12 no total.

De onde vem cada valor: $4$ = passo 2 · $3$ = enunciado: razão = 3

Passo 5 — Somar o primeiro termo

O resultado da multiplicação (12) é o total que a razão adiciona ao primeiro termo. Agora somamos esse valor ao primeiro termo para obter o quinto termo.

Por que esta fórmula: A soma 5 + 12 combina o ponto de partida (primeiro termo) com o acúmulo dos incrementos, resultando no termo na posição desejada.

De onde vem cada valor: $a_1$ = enunciado: primeiro termo = 5 · $(n-1) \cdot r$ = passo 4: 12

Resposta: 17 (alternativa A)