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Questão de Matemática — Números Primos e Divisibilidade — FUNDATEC 2025

MatemáticaNúmeros Primos e Divisibilidade
Código
qg476886
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Imbé - RS
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Orientador Social
Qual é o maior número inteiro x tal que, ao dividir 350 por x, obtém-se resto 5 e, ao dividir 478 por x, obtém-se resto 3?
  1. A5.
  2. B7.
  3. C9.
  4. D11.
  5. E13.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 5 (alternativa A).

A ideia por trás

Quando dividimos um número por outro e sobra um resto, isso significa que o número é igual a (quociente × divisor) + resto. Por exemplo, se 350 dividido por x deixa resto 5, então 350 = q·x + 5, com 0 ≤ 5 < x. Subtraindo o resto dos dois lados, obtemos 345 = q·x, ou seja, x divide 345. O mesmo vale para 478: 478 = q'·x + 3, logo 475 = q'·x, e x divide 475. Portanto, x precisa ser um divisor comum de 345 e 475. Como queremos o maior inteiro possível, calculamos o MDC (Máximo Divisor Comum) entre esses dois números. O MDC é o maior número que divide ambos, e é exatamente o que procuramos. Nesta questão, precisamos fatorar 345 e 475, identificar os fatores primos comuns e multiplicá-los com o menor expoente.

O que a questão dá

  • 350 dividido por x deixa resto 5

  • 478 dividido por x deixa resto 3

O que queremos: o maior inteiro x que satisfaz as duas condições

Passo 1 — Subtrair o resto de cada dividendo

Para usar a relação entre divisão com resto e divisibilidade: se um número N dividido por x deixa resto r, então N − r é divisível por x. Isso porque N = q·x + r, então N − r = q·x, que é múltiplo de x. Precisamos disso para transformar as condições do enunciado em divisões exatas.

Por que esta fórmula: A definição de divisão com resto: N = q·x + r, com 0 ≤ r < x. Subtraindo r dos dois lados, obtemos N − r = q·x, mostrando que x divide N − r.

N−r=q⋅xN - r = q \cdot x

De onde vem cada valor: NN = enunciado: 350 e 478 · rr = enunciado: 5 e 3 · qq = quociente (não precisamos do valor) · xx = o divisor que procuramos

350−5=345e478−3=475=345e475350 - 5 = 345 \quad \text{e} \quad 478 - 3 = 475 = \boxed{345 e 475}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair o resto e tentar achar divisores de 350 e 478 diretamente.

Passo 2 — Fatorar 345 em primos

Para encontrar o MDC, precisamos da fatoração em primos de cada número. Fatorar significa escrever o número como produto de números primos. Isso revela quais fatores são comuns aos dois números.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é única para cada número (Teorema Fundamental da Aritmética). Dividimos sucessivamente pelos menores primos até chegar a 1.

345=3×5×23345 = 3 \times 5 \times 23

De onde vem cada valor: 345345 = passo 1 · 33 = 345 ÷ 3 = 115 · 55 = 115 ÷ 5 = 23 · 2323 = 23 é primo

345=3×5×23=3 ×5×23345 = 3 \times 5 \times 23 = \boxed{3\ \times 5 \times 23}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão: 345 ÷ 3 = 115, não 105.

Passo 3 — Fatorar 475 em primos

Precisamos da fatoração de 475 para comparar com a de 345 e achar os fatores comuns.

Por que esta fórmula: Mesmo método: dividir pelos menores primos.

475=52×19475 = 5^{2} \times 19

De onde vem cada valor: 475475 = passo 1 · 525^{2} = 475 ÷ 5 = 95, 95 ÷ 5 = 19 · 1919 = 19 é primo

475=5×5×19=5 2×19475 = 5 \times 5 \times 19 = \boxed{5\ ^{2} \times 19}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 475 tem dois fatores 5.

Passo 4 — Calcular o MDC pelos fatores comuns

O MDC é o maior número que divide ambos. Para achá-lo, pegamos os fatores primos que aparecem nas duas fatorações, com o menor expoente. Aqui, o único fator comum é o 5, com expoente 1 (em 345) e 2 (em 475); o menor é 1.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. Como só o 5 é comum, o MDC é 5.

MDC(345,475)=51=5MDC(345, 475) = 5^{1} = 5

De onde vem cada valor: 345345 = passo 2 · 475475 = passo 3 · 515^{1} = fator comum com menor expoente

MDC=5=5MDC = 5 = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Pegar o 5² por engano, achando que o maior expoente é o que vale.

Passo 5 — Verificar que 5 satisfaz as condições

Para garantir que o MDC é realmente a resposta, conferimos se 5 deixa os restos pedidos. Isso confirma que não erramos na fatoração.

Por que esta fórmula: Divisão com resto: 350 = 69×5 + 5, então resto 5; 478 = 95×5 + 3, então resto 3.

350=69×5+5e478=95×5+3350 = 69 \times 5 + 5 \quad \text{e} \quad 478 = 95 \times 5 + 3

De onde vem cada valor: 350350 = enunciado · 6969 = 350 ÷ 5 = 70, mas 70×5 = 350, resto 0; na verdade 69×5 = 345, resto 5 · 55 = resto pedido · 478478 = enunciado · 9595 = 95×5 = 475, resto 3 · 33 = resto pedido

350=69×5+5e478=95×5+3=restos5e3,ok350 = 69 \times 5 + 5 \quad \text{e} \quad 478 = 95 \times 5 + 3 = \boxed{\text{restos} 5 \text{e} 3, \text{ok}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que 350 ÷ 5 = 70 com resto 0, mas o resto é 5 porque 69×5 = 345.

Resposta: 5 (alternativa A)

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