Matemática · FUNDATEC · 2025 | Questão sqc-qg477472

Divisão de polinômios

Gabarito: letra E — o quociente de $P(x) = -3x^3 + 2x^2 + 7x + 42$ por $Q(x) = x - 3$ é $-3x^2 - 7x - 14$ . Isso se obtém pelo método da chave (divisão de polinômios), que é o procedimento padrão para dividir um polinômio por outro de grau menor.

A divisão de polinômios é o processo de encontrar o quociente e o resto quando se divide um polinômio por outro. O método da chave é análogo à divisão de números inteiros: dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, multiplicamos o resultado pelo divisor, subtraímos do dividendo e repetimos o processo até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor. A relação fundamental é:

\text{Dividendo} = \text{Quociente} \times \text{Divisor} + \text{Resto}

Nesta questão, o resto é zero, pois o enunciado afirma que $P(x)$ é divisível por $Q(x)$ . Vamos aplicar o método da chave passo a passo.

Passo 1: Dividimos o termo de maior grau de $P(x)$ , que é $-3x^3$ , pelo termo de maior grau de $Q(x)$ , que é $x$ :

\frac{-3x^3}{x} = -3x^2

Este é o primeiro termo do quociente.

Passo 2: Multiplicamos $-3x^2$ pelo divisor $x - 3$ :

-3x^2 \cdot (x - 3) = -3x^3 + 9x^2

Passo 3: Subtraímos esse resultado de $P(x)$ :

(-3x^3 + 2x^2 + 7x + 42) - (-3x^3 + 9x^2) = -7x^2 + 7x + 42

Passo 4: Repetimos o processo. Dividimos o novo termo de maior grau, $-7x^2$ , por $x$ :

\frac{-7x^2}{x} = -7x

Este é o segundo termo do quociente.

Passo 5: Multiplicamos $-7x$ pelo divisor:

-7x \cdot (x - 3) = -7x^2 + 21x

Passo 6: Subtraímos do polinômio restante:

(-7x^2 + 7x + 42) - (-7x^2 + 21x) = -14x + 42

Passo 7: Repetimos novamente. Dividimos $-14x$ por $x$ :

\frac{-14x}{x} = -14

Este é o terceiro termo do quociente.

Passo 8: Multiplicamos $-14$ pelo divisor:

-14 \cdot (x - 3) = -14x + 42

Passo 9: Subtraímos do polinômio restante:

(-14x + 42) - (-14x + 42) = 0

O resto é zero, confirmando a divisibilidade. O quociente é a soma dos termos encontrados:

Q(x) = -3x^2 - 7x - 14

1Dividir termo de maior grau
2Multiplicar pelo divisor
3Subtrair do dividendo
4Repetir até resto < grau

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $3x^2 - 7x$ . O primeiro termo tem sinal trocado (deveria ser $-3x^2$ ) e falta o termo constante $-14$ . Além disso, o termo $-7x$ está correto, mas o polinômio está incompleto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $-3x^3 - 7x + 14$ . O primeiro termo está com o expoente errado (deveria ser $x^2$ , não $x^3$ ) e o termo constante tem sinal trocado (deveria ser $-14$ , não $+14$ ).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $-3x^2 + 7x - 42$ . O primeiro termo está correto, mas o segundo termo tem sinal trocado (deveria ser $-7x$ , não $+7x$ ) e o termo constante está errado (deveria ser $-14$ , não $-42$ ).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $3x^2 - 7x - 14$ . O primeiro termo tem sinal trocado (deveria ser $-3x^2$ , não $3x^2$ ). Os demais termos estão corretos.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $-3x^2 - 7x - 14$ , que é exatamente o quociente obtido pelo método da chave. Todos os termos estão corretos: o coeficiente líder $-3$ , o coeficiente de $x$ igual a $-7$ e o termo constante $-14$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão com os sinais. Como o divisor é $x - 3$ (com $x$ positivo), o quociente herda o sinal do dividendo: $-3x^3$ dividido por $x$ dá $-3x^2$ , e não $3x^2$ . Muitos candidatos erram o sinal do primeiro termo e acabam marcando a alternativa D, que tem os termos $-7x$ e $-14$ corretos, mas o primeiro termo com sinal trocado. Preste atenção em cada sinal durante a divisão!

PEGA ESSA DICA!

Para conferir rapidamente se o quociente está certo, use a relação $P(x) = Q(x) \cdot \text{Quociente}$ . Multiplique o divisor pelo quociente encontrado e verifique se o resultado é exatamente $P(x)$ . Se bater, a resposta está correta. Essa verificação é rápida e evita erros de sinal.

Gabarito: letra E