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Questão de Matemática — Geometria Espacial — FUNDATEC 2025

MatemáticaGeometria Espacial
Código
qg477666
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Montenegro - RS
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor Área II - Matemática
Um tanque cilíndrico contém água até a altura de 11,25 m. Deseja-se transferir toda a água para outro tanque cilíndrico, cujo raio é 3 vezes maior que o do primeiro. Qual é a altura (em metros) que a água atingirá no segundo tanque?
  1. A1,14.
  2. B1,25.
  3. C1,36.
  4. D1,40.
  5. E1,52.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 1,25.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 1,25 m (alternativa B).

A ideia por trás

O volume de um cilindro mede o espaço que ele ocupa, e é calculado multiplicando a área da base (um círculo) pela altura. A área do círculo cresce com o quadrado do raio: se o raio dobra, a área quadruplica; se triplica, a área fica nove vezes maior. Por isso, quando transferimos um líquido de um cilindro para outro, o volume se conserva, e a altura final depende de como a base mudou. Nesta questão, o raio triplica, então a base fica 9 vezes maior, e a altura precisa ser 9 vezes menor para manter o mesmo volume.

O que a questão dá

  • altura inicial = 11,25 m

  • raio do segundo tanque = 3 vezes o raio do primeiro

O que queremos: a altura que a água atingirá no segundo tanque

Passo 1 — Escrever a fórmula do volume do cilindro

Precisamos relacionar o volume com o raio e a altura. O volume de um cilindro é a área da base (círculo) vezes a altura: V = πr²h. Essa fórmula é a base de todo o problema.

Por que esta fórmula: É a fórmula padrão do volume de um cilindro circular reto, que aparece em qualquer problema de cilindro.

V=πr2hV = \pi r^{2} h

De onde vem cada valor: VV = volume do cilindro · rr = raio da base · hh = altura

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o raio está ao quadrado na fórmula.

Passo 2 — Igualar os volumes dos dois tanques

Como toda a água é transferida, o volume não muda: o volume inicial é igual ao volume final. Isso nos dá uma equação para achar a altura final.

Por que esta fórmula: A conservação do volume é o princípio físico: a quantidade de água é a mesma, então os volumes devem ser iguais.

πr12h1=πr22h2\pi r_1^{2} h_1 = \pi r_2^{2} h_2

De onde vem cada valor: r1r_1 = raio do primeiro tanque (não dado numericamente, mas usamos como referência) · h1h_1 = enunciado: 11,25 m · r2r_2 = enunciado: 3 vezes o raio do primeiro · h2h_2 = altura que queremos encontrar

πr12⋅11,25=π(3r1)2⋅h2\pi r_1^{2} \cdot 11{,}25 = \pi (3r_1)^{2} \cdot h_2
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar o 3 ao quadrado ao substituir r₂ = 3r₁.

Passo 3 — Simplificar a equação cancelando π e r₁²

Para isolar h₂, precisamos eliminar os termos comuns dos dois lados. Como π e r₁² aparecem nos dois lados, podemos cancelá-los, simplificando a equação.

Por que esta fórmula: Cancelar fatores comuns é uma manipulação algébrica válida: se a = b, então a/c = b/c (desde que c ≠ 0). Aqui, π e r₁² são diferentes de zero.

11,25=9h211{,}25 = 9 h_2

De onde vem cada valor: 11,2511{,}25 = passo 2: altura inicial · 99 = passo 2: (3r₁)² = 9r₁², cancelando r₁²

11,25=9⋅h211{,}25 = 9 \cdot h_2
NÃO CAIA NESSA!

Cancelar apenas o r₁, esquecendo que (3r₁)² = 9r₁², o que daria 3 em vez de 9.

Passo 4 — Isolar h₂ dividindo por 9

A equação 11,25 = 9·h₂ está quase pronta; para achar h₂, dividimos os dois lados por 9. Isso é o inverso da multiplicação por 9.

Por que esta fórmula: Para isolar a incógnita, aplicamos a operação inversa: se h₂ está multiplicado por 9, dividimos por 9.

h2=11,259h_2 = \frac{11{,}25}{9}

De onde vem cada valor: 11,2511{,}25 = passo 3 · 99 = passo 3

h2=11,259=1,25 mh_2 = \frac{11{,}25}{9} = \boxed{1{,}25\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 3 em vez de 9, obtendo 3,75 m — que não está nas alternativas.

Resposta: 1,25 m (alternativa B)

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