Questão de Matemática — Geometria Analítica — FUNDATEC 2025

Equação Reduzida da Circunferência

Gabarito: letra A. A equação reduzida da circunferência com centro em A(1,2) e que passa por B(5,4) é $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 20$. O raio é a distância entre o centro e o ponto B, que vale $\sqrt{20}$; elevando ao quadrado, obtemos o termo independente 20.

A equação reduzida de uma circunferência tem a forma $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2$, onde $(x_c, y_c)$ são as coordenadas do centro e $r$ é o raio. Como o centro é A(1,2), substituímos $x_c = 1$ e $y_c = 2$, obtendo $(x-1)^2 + (y-2)^2 = r^2$. O raio é a distância do centro ao ponto B, pois B pertence à circunferência. Calculamos essa distância pela fórmula da distância entre dois pontos: $d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Substituindo: $d = \sqrt{(5-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$. Portanto, $r^2 = 20$, e a equação fica $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 20$.

A pegadinha clássica dessa questão é inverter o sinal das coordenadas do centro: como o centro é (1,2), na equação aparecem $(x-1)$ e $(y-2)$, e não $(x+1)$ e $(y+2)$. Além disso, o raio ao quadrado é 20, não 10 ou 12 — esses valores surgem de erros de cálculo da distância (por exemplo, esquecer de elevar ao quadrado ou somar errado).

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a equação correta. O centro (1,2) aparece com os sinais trocados na forma $(x-1)$ e $(y-2)$, e o raio ao quadrado é 20, exatamente o valor de $r^2$ calculado pela distância entre A e B.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O erro está nos sinais das coordenadas do centro: $(x+1)$ e $(y+2)$ indicariam centro em (-1,-2), não em (1,2). Além disso, o termo independente 12 não corresponde ao quadrado da distância entre A e B.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Os sinais do centro estão corretos, mas o termo independente é 10, que não é o valor de $r^2$. Esse número poderia surgir de um erro ao calcular a distância, como considerar apenas a diferença das coordenadas sem elevar ao quadrado corretamente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Aqui o termo independente 20 está correto, mas os sinais das coordenadas do centro estão invertidos: $(x+1)$ e $(y+2)$ corresponderiam a centro (-1,-2), não a (1,2).

Alternativa E — ❌ Incorreta

Os sinais do centro estão corretos, mas o termo independente é 12, que não é o quadrado da distância entre A e B. Esse valor poderia resultar de um erro de cálculo, como subtrair as coordenadas de forma incorreta.

Gabarito: letra A.