GabaritoC — 1/2
Gabarito: letra C — a conta chega a 1/2 (alternativa C).
A área de um círculo mede a superfície que ele ocupa no plano e é dada por A = πr², onde r é o raio. Ela cresce com o quadrado do raio: se o raio dobra, a área quadruplica. Nesta questão, os dois círculos estão ligados ao mesmo quadrado: o inscrito toca os lados por dentro e o circunscrito passa pelos vértices. A razão entre as áreas depende apenas da razão entre os raios, e o π se cancela.
lado do quadrado = 1 unidade
O que queremos: a razão entre a área do círculo inscrito e a do círculo circunscrito
O círculo inscrito é o que fica dentro do quadrado, encostando nos quatro lados. O raio dele é a distância do centro até um lado, que é metade do lado do quadrado.
Por que esta fórmula: O raio do círculo inscrito é sempre metade do lado do quadrado, pois o centro do quadrado está a essa distância de cada lado.
De onde vem cada valor: = enunciado: lado do quadrado = 1
Esquecer que o raio é metade do lado e usar o lado inteiro.
O círculo circunscrito passa pelos quatro vértices do quadrado, então o raio dele é a distância do centro até um vértice, que é metade da diagonal. Precisamos da diagonal para achar esse raio.
Por que esta fórmula: A diagonal de um quadrado de lado ℓ é ℓ√2, porque ela forma um triângulo retângulo com dois lados do quadrado, e o Teorema de Pitágoras dá essa relação.
De onde vem cada valor: = enunciado: lado do quadrado = 1
Usar a fórmula da diagonal de outra figura, como retângulo, ou esquecer a raiz.
O raio do círculo circunscrito é metade da diagonal, pois o centro do quadrado é o ponto médio da diagonal e também o centro do círculo.
Por que esta fórmula: O raio do círculo circunscrito é a distância do centro até um vértice, que é exatamente metade da diagonal.
De onde vem cada valor: = passo 2: √2
Usar a diagonal inteira como raio, em vez de dividir por 2.
A área de um círculo é π vezes o quadrado do raio. Com o raio do inscrito já calculado, podemos achar a área dele.
Por que esta fórmula: A fórmula da área do círculo é A = πr², que é a relação padrão entre raio e área.
De onde vem cada valor: = passo 1: 1/2
Elevar o raio ao quadrado errado, como (1/2)² = 1/4, mas esquecer de multiplicar por π.
Com o raio do circunscrito, aplicamos a mesma fórmula da área para obter a área do círculo maior.
Por que esta fórmula: A área do círculo também é A = πR², usando o raio do circunscrito.
De onde vem cada valor: = passo 3: √2/2
Errar o quadrado de √2/2: (√2/2)² = 2/4 = 1/2, não 1/4.
A razão entre as áreas é a divisão da área do inscrito pela do circunscrito. Como as duas têm π, ele se cancela e sobra uma fração simples.
Por que esta fórmula: A razão é A_i / A_c, que é a comparação entre as duas áreas.
De onde vem cada valor: = passo 4: π/4 · = passo 5: π/2
Inverter a razão e achar 2, que é a razão circunscrito/inscrito.
Resposta: 1/2 (alternativa C)
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