GabaritoD — -4 e -13.
Gabarito: letra D — a conta chega a Soma = -4 e produto = -13, alternativa D..
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada que resume, por exemplo, o fator de escala de áreas ou volumes na transformação linear que ela representa. Para matrizes inversíveis, existe uma propriedade fundamental: o determinante da inversa é o inverso do determinante da matriz original, ou seja, det(A⁻¹) = 1/det(A). Isso vem do fato de que A·A⁻¹ = I e det(I) = 1, então det(A)·det(A⁻¹) = 1. Essa relação é o coração da questão, pois conecta os dois valores dados. Depois de aplicar essa propriedade, chegamos a uma equação do segundo grau em x. Para uma equação ax² + bx + c = 0, a soma das raízes é -b/a e o produto é c/a (relações de Girard), o que evita calcular as raízes explicitamente. Nesta questão, precisamos montar a equação corretamente e então usar essas relações para achar soma e produto.
det(B) = x - 2
det(B⁻¹) = x + 6
O que queremos: a soma e o produto dos valores de x
O enunciado dá o determinante de B e o de sua inversa. A propriedade que liga os dois é det(B⁻¹) = 1/det(B), que vale para toda matriz inversível. É ela que permite montar uma equação com x.
Por que esta fórmula: Porque a inversa de uma matriz tem determinante igual ao inverso do determinante original, desde que o determinante não seja zero (matriz inversível).
De onde vem cada valor: = enunciado: x + 6 · = enunciado: x - 2
Esquecer que a propriedade é 1/det(B) e não det(B) - 1, ou inverter os lados.
A equação tem uma fração, o que dificulta a resolução. Multiplicar ambos os lados por (x - 2) elimina o denominador e transforma a equação em uma forma mais simples de trabalhar.
Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por (x - 2) é válido porque x - 2 ≠ 0 (a matriz é inversível, então det(B) ≠ 0). Isso mantém a igualdade.
De onde vem cada valor: = passo 1: lado esquerdo · = passo 1: denominador do lado direito
Esquecer de multiplicar o lado direito por (x - 2), ficando com x + 6 = 1.
Precisamos colocar a equação na forma padrão ax² + bx + c = 0 para usar as relações de soma e produto. Expandir o produto (x + 6)(x - 2) e mover todos os termos para um lado é o caminho.
Por que esta fórmula: A forma padrão da equação do segundo grau é ax² + bx + c = 0, e é dela que tiramos soma = -b/a e produto = c/a.
De onde vem cada valor: = passo 2: x·x · = passo 2: 6x - 2x · = passo 2: -12 - 1
Errar a expansão: (x + 6)(x - 2) = x² + 4x - 12, e depois esquecer de subtrair 1, ficando x² + 4x - 12 = 0.
A questão pede a soma dos valores de x, que são as raízes da equação. Em vez de resolver a equação, usamos a relação de Girard: soma = -b/a.
Por que esta fórmula: Para uma equação ax² + bx + c = 0, a soma das raízes é sempre -b/a, independentemente dos valores das raízes.
De onde vem cada valor: = passo 3: 4 · = passo 3: 1
Usar b/a em vez de -b/a, ou trocar a e b.
A questão também pede o produto dos valores de x. Usamos a relação de Girard: produto = c/a.
Por que esta fórmula: Para uma equação ax² + bx + c = 0, o produto das raízes é sempre c/a.
De onde vem cada valor: = passo 3: -13 · = passo 3: 1
Usar -c/a ou esquecer o sinal negativo de c.
Resposta: Soma = -4 e produto = -13, alternativa D.
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