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Questão de Matemática — Polinômios — FUNDATEC 2025

MatemáticaPolinômios
Código
qg477674
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Montenegro - RS
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor Área II - Matemática
Para quais valores de m² - n² o polinômio (m – n - 5)x⁷ + (m + n + 3)x² será identicamente nulo?
  1. A-15
  2. B-8
  3. C0
  4. D8
  5. E15
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GabaritoA — -15

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a m² - n² = -15, alternativa A.

A ideia por trás

Um polinômio é identicamente nulo quando vale zero para qualquer valor da variável. Isso só acontece se todos os seus coeficientes forem zero, pois cada termo é independente. No polinômio dado, os coeficientes são expressões em m e n, então igualá-los a zero gera um sistema de equações. A questão pede m² - n², que pode ser calculado diretamente dos valores de m e n ou pelo produto notável (m+n)(m-n).

O que a questão dá

  • coeficiente do termo x⁷: m - n - 5

  • coeficiente do termo x²: m + n + 3

O que queremos: o valor de m² - n²

Passo 1 — Igualar os coeficientes a zero

Para que o polinômio seja identicamente nulo, cada coeficiente deve ser zero, pois cada termo é independente. Isso transforma o problema em um sistema de equações.

Por que esta fórmula: A condição de polinômio nulo exige que cada coeficiente seja zero, então igualamos cada expressão a zero.

m−n−5=0em+n+3=0m - n - 5 = 0 \quad \text{e} \quad m + n + 3 = 0

De onde vem cada valor: m−n−5m - n - 5 = enunciado: coeficiente de x⁷ · m+n+3m + n + 3 = enunciado: coeficiente de x²

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de igualar um dos coeficientes a zero, achando que basta um deles ser zero.

Passo 2 — Reescrever as equações sem as constantes

Para resolver o sistema, é mais simples isolar as incógnitas. Passamos as constantes para o outro lado, obtendo equações mais diretas.

Por que esta fórmula: Isolamos as incógnitas para facilitar a resolução do sistema.

m−n=5em+n=−3m - n = 5 \quad \text{e} \quad m + n = -3

De onde vem cada valor: 55 = passo 1: m - n - 5 = 0 → m - n = 5 · −3-3 = passo 1: m + n + 3 = 0 → m + n = -3

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar a constante: por exemplo, escrever m + n = 3 em vez de -3.

Passo 3 — Somar as duas equações

Somando as equações, o termo n se cancela, permitindo encontrar m diretamente. Isso é um método clássico de resolução de sistemas lineares.

Por que esta fórmula: A soma das equações elimina a incógnita n, pois os coeficientes de n são opostos (+1 e -1).

(m−n)+(m+n)=5+(−3)(m - n) + (m + n) = 5 + (-3)

De onde vem cada valor: m−nm - n = passo 2: primeira equação · m+nm + n = passo 2: segunda equação · 55 = passo 2: lado direito da primeira · −3-3 = passo 2: lado direito da segunda

2m=22m = 2
m=1m = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os lados direitos corretamente: 5 + (-3) = 2, não 8.

Passo 4 — Substituir m para achar n

Com m conhecido, usamos uma das equações originais para encontrar n. Isso completa a solução do sistema.

Por que esta fórmula: Substituímos o valor de m na equação m + n = -3 para isolar n.

1+n=−31 + n = -3

De onde vem cada valor: 11 = passo 3: m = 1 · −3-3 = passo 2: m + n = -3

n=−3−1n = -3 - 1
n=−4n = \boxed{-4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair: n = -3 - 1 = -4, não -2.

Passo 5 — Calcular m² - n²

A questão pede o valor de m² - n², então agora que temos m e n, podemos calcular diretamente. Alternativamente, poderíamos usar o produto notável, mas aqui vamos substituir.

Por que esta fórmula: A expressão m² - n² é a diferença de quadrados, que pode ser calculada diretamente ou pela fatoração (m+n)(m-n).

m2−n2=(1)2−(−4)2m^{2} - n^{2} = (1)^{2} - (-4)^{2}

De onde vem cada valor: 11 = passo 3: m = 1 · −4-4 = passo 4: n = -4

1−16=−151 - 16 = \boxed{-15}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que (-4)² = 16, não -16, e errar o sinal final.

Resposta: m² - n² = -15, alternativa A

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