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Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2025

MatemáticaProgressões
Código
qg478199
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Porto Alegre - RS
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor – Matemática
Um estudante decide economizar dinheiro semanalmente para comprar um novo celular. Na primeira semana, ele guarda R$ 20,00. A partir da segunda semana, ele aumenta a quantia economizada em R$ 5,00 a cada semana. O total economizado ao final de 10 semanas será de:
  1. AR$ 65,00.
  2. BR$ 150,00.
  3. CR$ 200,00.
  4. DR$ 425,00.
  5. ER$ 560,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — R$ 425,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 425,00 (alternativa D).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma, chamada de razão. No mundo real, isso aparece quando algo cresce de forma constante a cada etapa, como o valor economizado que aumenta R$ 5,00 por semana. O termo geral de uma PA, dado por aₙ = a₁ + (n-1)·r, permite encontrar qualquer termo da sequência, e a soma dos n primeiros termos, Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2, calcula o total acumulado. Nesta questão, precisamos do total economizado, ou seja, a soma dos 10 primeiros termos, então usamos a fórmula da soma, que depende do primeiro termo e do décimo termo.

O que a questão dá

  • primeiro termo = R$ 20,00

  • razão = R$ 5,00

  • número de semanas = 10

O que queremos: o total economizado ao final de 10 semanas

Passo 1 — Calcular o valor da décima semana

Para somar os 10 valores, precisamos saber o último termo da sequência. A fórmula do termo geral de uma PA nos dá qualquer termo a partir do primeiro e da razão.

Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral aₙ = a₁ + (n-1)·r é a que relaciona o primeiro termo, a razão e a posição do termo. Como queremos o valor da décima semana, usamos n = 10.

a10=a1+(10−1)⋅ra_{10} = a_1 + (10-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: R$ 20,00 · rr = enunciado: R$ 5,00 · 1010 = enunciado: 10 semanas

a10=20+9⋅5a_{10} = 20 + 9 \cdot 5

a10a_{10} = R$ 65,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 1 de n, usando 10 em vez de 9, o que daria 20 + 50 = 70.

Passo 2 — Aplicar a fórmula da soma da PA

A pergunta pede o total economizado, que é a soma de todos os valores das 10 semanas. A fórmula da soma usa o primeiro termo, o último termo (que acabamos de calcular) e o número de termos.

Por que esta fórmula: A fórmula Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 é a mais direta para somar uma PA quando conhecemos o primeiro e o último termo. Ela vem da ideia de somar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc., sempre dando o mesmo valor.

S10=(a1+a10)⋅102S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2}

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: R$ 20,00 · a10a_{10} = passo 1: R$ 65,00 · 1010 = enunciado: 10 semanas

S10=(20+65)⋅102S_{10} = \frac{(20 + 65) \cdot 10}{2}

S10S_{10} = R$ 425,00

NÃO CAIA NESSA!

Confundir a soma com o último termo (R$ 65,00) ou calcular apenas 20 × 10 = 200, ignorando o aumento.

Resposta: R$ 425,00 (alternativa D)

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