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Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2025

MatemáticaProgressões
Código
qg478200
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Porto Alegre - RS
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor – Matemática
Uma empresa de tecnologia investe em publicidade de forma que, a cada mês, o investimento dobra em relação ao mês anterior. No primeiro mês, o investimento foi de R$ 5.000,00. Sendo assim, no n-ézimo mês o investimento será de:
  1. A5000.2n
  2. B2500.2n
  3. C5000.2n-1
  4. D10000 n²
  5. E5000.2n
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 5000.2n-1

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a a_n = 5000 · 2^(n-1) — alternativa C.

A ideia por trás

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante, chamada razão. Ela modela crescimentos percentuais constantes, como juros compostos, populações e, aqui, um investimento que dobra todo mês. A fórmula do termo geral é a_n = a_1 · q^(n-1), onde a_1 é o primeiro termo, q é a razão e n é a posição do termo. O expoente n-1 aparece porque, para ir do primeiro ao n-ésimo termo, multiplicamos por q exatamente n-1 vezes. Nesta questão, reconhecemos a PG e aplicamos a fórmula com a_1 = 5000 e q = 2.

O que a questão dá

  • primeiro mês: R$ 5.000,00

  • razão: dobra a cada mês (q = 2)

O que queremos: o investimento no n-ézimo mês

Passo 1 — Reconhecer a progressão geométrica

Antes de aplicar qualquer fórmula, precisamos identificar o tipo de sequência. Como o investimento dobra a cada mês, cada termo é o anterior multiplicado por 2 — isso define uma progressão geométrica (PG), não uma aritmética.

NÃO CAIA NESSA!

Confundir com progressão aritmética, onde a diferença é constante. Aqui a razão entre termos é constante.

Passo 2 — Identificar o primeiro termo e a razão

A fórmula do termo geral da PG precisa do primeiro termo (a₁) e da razão (q). O enunciado fornece diretamente: o primeiro mês tem R$ 5.000,00 e o valor dobra, então q = 2.

NÃO CAIA NESSA!

Trocar a razão: achar que q = 1/2 ou que o primeiro termo é 2500.

Passo 3 — Aplicar a fórmula do termo geral

Com a₁ e q em mãos, usamos a fórmula do termo geral da PG: aₙ = a₁ · q^(n-1). Ela dá o valor de qualquer termo sem precisar listar todos os anteriores.

Por que esta fórmula: É a definição de PG: cada termo é o anterior vezes q. Para chegar ao n-ésimo termo partindo do primeiro, multiplicamos por q (n-1) vezes, daí o expoente n-1.

an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: R$ 5.000,00 · qq = enunciado: dobra a cada mês, q = 2 · nn = enunciado: n-ézimo mês

an=5000⋅2n−1a_n = 5000 \cdot 2^{n-1}
an=5000 ⋅2(n−1)a_n = \boxed{5000\ \cdot 2^(\text{n}-1)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o expoente n-1 e escrever 2^n, o que daria o valor do mês seguinte.

Passo 4 — Conferir com o primeiro mês

Para validar a fórmula, testamos com n = 1: deve retornar exatamente o valor inicial. Isso elimina distratores que usam expoente n ou coeficientes errados.

Por que esta fórmula: A fórmula correta, com n-1, faz 2^0 = 1, então a₁ = 5000. Se usássemos 2^n, teríamos 2^1 = 2, dando 10000 — que é o segundo mês, não o primeiro.

a_1 = 5000 · 2^1-1

De onde vem cada valor: 50005000 = passo 3 · 22 = passo 3 · 1−11-1 = substituindo n = 1

a1=5000⋅20=5000⋅1=5000=5000 reaisa_1 = 5000 \cdot 2^{0} = 5000 \cdot 1 = 5000 = \boxed{5000\ \text{reais}}
NÃO CAIA NESSA!

Não testar com n = 1 e cair na pegadinha do expoente n.

Resposta: a_n = 5000 · 2^(n-1) — alternativa C

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