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Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2025

MatemáticaProgressões
Código
qg478659
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Santana do Livramento - RS
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Guarda Civil Municipal
Em uma progressão aritmética (P.A.), o terceiro termo é 13 e a razão é 5. Diante disso, qual é o resultado da soma dos nove primeiros termos da progressão?
  1. A180.
  2. B207.
  3. C225.
  4. D243.
  5. E261.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 207.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 207 (alternativa B).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante (a razão) ao termo anterior. Essa razão é o que dá o 'ritmo' da sequência: se ela é positiva, os termos crescem; se negativa, decrescem. O termo geral de uma P.A. é dado por a_n = a_1 + (n-1)·r, que permite encontrar qualquer termo conhecendo o primeiro e a razão. A soma dos n primeiros termos é S_n = (a_1 + a_n)·n / 2, que é a média entre o primeiro e o último termo multiplicada pelo número de termos. Nesta questão, temos o terceiro termo e a razão, mas precisamos do primeiro e do nono termo para aplicar a fórmula da soma — por isso usamos o termo geral para 'caminhar' até eles.

O que a questão dá

  • terceiro termo (a3) = 13

  • razão (r) = 5

  • número de termos (n) = 9

O que queremos: a soma dos nove primeiros termos da progressão aritmética

Passo 1 — Encontrar o primeiro termo

A fórmula da soma exige o primeiro termo (a1) e o último termo (a9). Como só temos o terceiro termo, precisamos 'voltar' na sequência usando a razão: cada passo para trás subtrai a razão. O termo geral a_n = a_1 + (n-1)·r relaciona qualquer termo com o primeiro, então isolamos a1.

Por que esta fórmula: Usamos o termo geral da P.A. porque ele é a ferramenta que liga um termo qualquer ao primeiro, e é a única forma de descobrir a1 a partir de a3 e r.

a3=a1+(3−1)⋅ra_3 = a_1 + (3-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a3a_3 = enunciado: 13 · rr = enunciado: 5 · 3−13-1 = posição do terceiro termo menos 1

13=a1+2⋅513 = a_1 + 2 \cdot 5
a1=3a_1 = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a1 = 13, esquecendo de subtrair 2·r (10) para voltar do terceiro para o primeiro termo.

Passo 2 — Calcular o nono termo

A fórmula da soma também exige o último termo da soma, que é o nono termo (a9). Agora que temos a1, podemos avançar na sequência usando a razão: cada passo para frente soma a razão. O termo geral nos dá a9 diretamente.

Por que esta fórmula: Novamente o termo geral, agora para n = 9, porque precisamos do valor do nono termo para usar na soma.

a9=a1+(9−1)⋅ra_9 = a_1 + (9-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 1: 3 · rr = enunciado: 5 · 9−19-1 = posição do nono termo menos 1

a9=3+8⋅5a_9 = 3 + 8 \cdot 5
a9=43a_9 = \boxed{43}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a3 = 13 como se fosse a1, o que daria a9 = 13 + 8·5 = 53, errando por 10.

Passo 3 — Aplicar a fórmula da soma

Com o primeiro e o nono termo em mãos, podemos calcular a soma dos nove primeiros termos. A fórmula da soma é a ferramenta certa porque ela aproveita a simetria da P.A.: a soma do primeiro com o último é igual à soma do segundo com o penúltimo, e assim por diante, então basta multiplicar essa soma pelo número de pares.

Por que esta fórmula: A fórmula S_n = (a_1 + a_n)·n / 2 é a definição de soma dos n primeiros termos de uma P.A., e é a única que usa diretamente a1 e an.

S9=(a1+a9)⋅92S_9 = \frac{(a_1 + a_9) \cdot 9}{2}

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 1: 3 · a9a_9 = passo 2: 43 · 99 = enunciado: número de termos

S9=(3+43)⋅92=207S_9 = \frac{(3 + 43) \cdot 9}{2} = \boxed{207}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 414, ou usar n = 8 (contando errado os termos).

Resposta: 207 (alternativa B)

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