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Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2025

MatemáticaProgressões
Código
qg478790
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Soledade - RS
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Agente de Apoio Educacional, Agente de Fiscalização, Agente de Fiscalização Sanitária, Auxiliar Administrativo e Mecânico Especializado
Após analisar o aumento do número de processos administrativos digitais em sua repartição de trabalho, um oficial administrativo concluiu que o número de processos sempre dobra em relação ao mês anterior. Sabendo que no primeiro mês do estudo havia 2 processos digitalizados e considerando que esse padrão se manteve por 6 meses, qual é a expressão que representa o total de processos digitalizados nesse período?
  1. A2⁶
  2. B2⁷− 2
  3. C2⁷
  4. D2⁸
  5. E2¹⁰
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 2⁷− 2

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 2^7 - 2 (alternativa B).

A ideia por trás

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão (q). Ela aparece em situações de crescimento ou decaimento proporcional, como juros compostos, crescimento populacional e, aqui, a duplicação mensal de processos. A soma dos n primeiros termos de uma PG com q ≠ 1 é dada por S_n = a_1 · (q^n − 1)/(q − 1). Essa fórmula vem do fato de que, ao multiplicar a soma pela razão e subtrair, os termos intermediários se cancelam, sobrando apenas o primeiro e o último. Quando q > 1, a soma cresce rapidamente, pois cada termo é maior que o anterior. Nesta questão, o número de processos dobra a cada mês, então q = 2, e o primeiro termo é 2. Precisamos somar os 6 primeiros termos, ou seja, aplicar a fórmula da soma com n = 6.

O que a questão dá

  • primeiro termo = 2 processos

  • razão = 2 (dobra a cada mês)

  • número de meses = 6

O que queremos: a expressão que representa o total de processos digitalizados nos 6 meses

Passo 1 — Identificar os elementos da PG

Para usar a fórmula da soma, precisamos saber o primeiro termo, a razão e o número de termos. Aqui, o primeiro mês tem 2 processos, e como o número dobra a cada mês, a razão é 2. O período é de 6 meses, então n = 6.

NÃO CAIA NESSA!

Confundir o número de termos com o expoente: como são 6 meses, n = 6, não 5 ou 7.

Passo 2 — Escrever a fórmula da soma da PG

A pergunta pede o total acumulado, ou seja, a soma de todos os processos dos 6 meses. A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG é a ferramenta certa, pois ela soma todos os termos de uma vez, em vez de somar um a um.

Por que esta fórmula: A fórmula S_n = a_1 · (q^n − 1)/(q − 1) é a única que calcula diretamente a soma dos n primeiros termos de uma PG. Outras fórmulas, como a do termo geral, dão apenas um termo isolado, não o total.

Sn=a1⋅qn−1q−1S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: primeiro mês tem 2 processos · qq = enunciado: dobra a cada mês, então q = 2 · nn = enunciado: 6 meses

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a fórmula só vale para q ≠ 1; aqui q = 2, então está tudo certo.

Passo 3 — Substituir os valores na fórmula

Com os valores identificados, basta colocá-los na fórmula para obter a expressão do total. Isso transforma a fórmula genérica em uma conta específica.

Por que esta fórmula: Substituir é o passo natural após escolher a fórmula: trocamos as letras pelos números do problema.

S6=2⋅26−12−1S_6 = 2 \cdot \frac{2^{6} - 1}{2 - 1}

De onde vem cada valor: 22 = passo 1: a_1 = 2 · 262^{6} = passo 1: q^n = 2^6 · 2−12 - 1 = passo 1: q - 1 = 2 - 1

S6=2⋅26−12−1S_6 = 2 \cdot \frac{2^{6} - 1}{2 - 1}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem: colocar 2^6 - 1 no denominador, ou esquecer o parêntese.

Passo 4 — Calcular a potência e simplificar

Agora precisamos resolver a expressão numérica. Primeiro calculamos 2^6, que é 64, e depois fazemos as operações restantes para chegar à forma final.

Por que esta fórmula: A simplificação segue a ordem das operações: primeiro a potência, depois a subtração no numerador, a divisão e a multiplicação.

S6=2⋅(64−1)=2⋅63S_6 = 2 \cdot (64 - 1) = 2 \cdot 63

De onde vem cada valor: 6464 = passo 3: 2^6 = 64 · 11 = passo 3: subtração na fórmula · 22 = passo 3: a_1 = 2

S6=2⋅(64−1)=2⋅63=126S_6 = 2 \cdot (64 - 1) = 2 \cdot 63 = \boxed{126}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 2^6 como 32 (erro comum de potência) ou esquecer de subtrair 1.

Passo 5 — Reescrever como potência de 2

As alternativas estão em forma de potência de 2, então precisamos expressar 126 como uma diferença de potências. Como 2^7 = 128, temos 128 - 2 = 126, que é 2^7 - 2.

Por que esta fórmula: Para comparar com as opções, transformamos o resultado numérico em uma expressão com potências de 2, pois todas as alternativas usam essa notação.

126=128−2=27−2126 = 128 - 2 = 2^{7} - 2

De onde vem cada valor: 128128 = passo 4: 2^7 = 128 · 22 = passo 4: subtração

126=128−2=27−2=2 7−2126 = 128 - 2 = 2^{7} - 2 = \boxed{2\ ^{7} - 2}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que 126 é 2^6 + 2 ou algo parecido, sem perceber a relação com 2^7.

Resposta: 2^7 - 2 (alternativa B)

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