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Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2025

MatemáticaProgressões
Código
qg482113
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Venâncio Aires - RS
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Monitor de Educação Básica (30H)
Considere 3 números: x, 21 e z em PG crescente. Sabendo-se que x + 21 + z = 91 e z – x = 56, temos que a razão q, dessa PG é igual a:
  1. A0.
  2. B2.
  3. C3.
  4. D10.
  5. E15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a q = 3, alternativa C.

A ideia por trás

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão q. Para três termos consecutivos (a, b, c), vale a propriedade fundamental b² = a·c, pois q = b/a = c/b. Essa propriedade relaciona os termos sem precisar conhecer a razão de antemão. Nesta questão, temos três números em PG e duas equações que os relacionam; precisamos descobrir os valores de x e z para então calcular a razão.

O que a questão dá

  • x, 21 e z em PG crescente

  • x + 21 + z = 91

  • z - x = 56

O que queremos: a razão q da progressão geométrica

Passo 1 — Montar o sistema com as equações

O enunciado dá duas relações entre x e z: a soma e a diferença. Precisamos usá-las para descobrir os valores de x e z, pois sem eles não dá para calcular a razão.

Por que esta fórmula: A primeira equação vem de x + 21 + z = 91, subtraindo 21 dos dois lados. A segunda é dada diretamente. Juntas formam um sistema linear de duas equações com duas incógnitas.

{x+z=70z−x=56\begin{cases} x + z = 70 \\ z - x = 56 \end{cases}

De onde vem cada valor: x+z=70x + z = 70 = enunciado: x + 21 + z = 91, subtraindo 21 · z−x=56z - x = 56 = enunciado: z – x = 56

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 21 na primeira equação, usando x + z = 91.

Passo 2 — Somar as equações para achar z

Com duas equações e duas incógnitas, somar as equações elimina x, pois os coeficientes de x são opostos (+1 e -1). Isso isola z diretamente.

Por que esta fórmula: Somando membro a membro: (x + z) + (z - x) = 70 + 56. Os x se cancelam, sobrando 2z = 126.

2z=1262z = 126

De onde vem cada valor: 2z2z = passo 1: x + z = 70 e z - x = 56, somando · 126126 = passo 1: 70 + 56

2z=1262z = 126
z=63z = \boxed{63}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair as equações em vez de somar, obtendo 2x = 14 e confundindo os valores.

Passo 3 — Substituir z para achar x

Com z conhecido, usamos uma das equações do sistema para encontrar x. Escolhemos a mais simples.

Por que esta fórmula: Na equação x + z = 70, substituímos z por 63 e isolamos x: x = 70 - 63.

x=70−zx = 70 - z

De onde vem cada valor: 7070 = passo 1: x + z = 70 · zz = passo 2: z = 63

x=70−63x = 70 - 63
x=7x = \boxed{7}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a equação z - x = 56 e errar o sinal ao isolar x.

Passo 4 — Calcular a razão da PG

Agora que conhecemos os três termos (7, 21, 63), podemos calcular a razão. Em uma PG, a razão é o quociente entre um termo e seu anterior.

Por que esta fórmula: A definição de razão: q = termo seguinte / termo anterior. Usamos os dois primeiros termos: q = 21 / 7.

q=21xq = \frac{21}{x}

De onde vem cada valor: 2121 = enunciado: termo do meio · xx = passo 3: x = 7

q=217q = \frac{21}{7}
q=3q = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração, calculando 7/21 = 1/3, o que daria uma PG decrescente.

Resposta: q = 3, alternativa C

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