Questão de Matemática — Circunferências — FUNDATEC 2025

Posição relativa entre ponto e circunferência

Gabarito: letra B. O ponto em que a reta corta o eixo das abscissas é (3, 0), e a distância desse ponto ao centro da circunferência, (3, −2), é 2, que é menor que o raio 3. Portanto, o ponto é interno à circunferência. A resolução envolve encontrar a interseção da reta com o eixo x e comparar a distância ao centro com o raio.

A questão combina dois conteúdos de Geometria Analítica: a interseção de uma reta com o eixo das abscissas e a posição relativa entre um ponto e uma circunferência. Vamos por partes.

1. Encontrando o ponto de interseção da reta com o eixo x

O eixo das abscissas é o eixo x, onde todos os pontos têm ordenada y = 0. Para encontrar onde a reta corta esse eixo, substituímos y = 0 na equação da reta:

$3y + 2x - 6 = 0$

$3(0) + 2x - 6 = 0$

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$

Portanto, o ponto de interseção é $P(3, 0)$.

2. Identificando o centro e o raio da circunferência

A equação reduzida da circunferência é $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, onde $(x_0, y_0)$ é o centro e $r$ é o raio. Comparando com a equação dada:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9$

Temos:

• Centro: $C(3, -2)$

• Raio: $r = \sqrt{9} = 3$

3. Calculando a distância entre o ponto e o centro

A distância entre dois pontos $P(x_1, y_1)$ e $C(x_2, y_2)$ é dada por:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Substituindo $P(3, 0)$ e $C(3, -2)$:

$d = \sqrt{(3 - 3)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$

4. Comparando a distância com o raio

A posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência é determinada pela comparação entre a distância do ponto ao centro ($d$) e o raio ($r$):

• Se $d = r$, o ponto pertence à circunferência.

• Se $d < r$, o ponto é interno à circunferência.

• Se $d > r$, o ponto é externo à circunferência.

Aqui, $d = 2$ e $r = 3$, logo $d < r$. Portanto, o ponto é interno à circunferência.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o ponto é externo à circunferência. Isso ocorreria se a distância ao centro fosse maior que o raio ($d > 3$). Como $d = 2 < 3$, o ponto não é externo.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O ponto é interno à circunferência, pois a distância do ponto ao centro ($d = 2$) é menor que o raio ($r = 3$).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o ponto pertence à circunferência. Isso exigiria $d = r$, ou seja, $d = 3$. Como $d = 2$, o ponto não está sobre a circunferência.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o ponto dista 4 do centro. A distância calculada é 2, não 4. O valor 4 poderia ser confundido com o quadrado da distância ($d^2 = 4$), mas a distância em si é 2.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o ponto dista 3 do centro. A distância é 2, não 3. O valor 3 é o raio da circunferência, não a distância do ponto ao centro.

Gabarito: letra B.