Matemática · FUNDATEC · 2025 | Questão sqc-qg482496

Determinante de uma matriz multiplicada por uma constante

Gabarito: letra D. Quando multiplicamos uma matriz quadrada de ordem $n$ por uma constante $k$ , o determinante da nova matriz é $k^n$ vezes o determinante original. Como $A$ é de ordem 4 e $\det(A) = 2$ , temos $\det(2A) = 2^4 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$ .

A propriedade que resolve a questão é uma das mais cobradas em provas de álgebra linear: se $A$ é uma matriz de ordem $n$ e $k$ é um número real, então $\det(kA) = k^n \det(A)$ . Isso acontece porque multiplicar a matriz inteira por $k$ equivale a multiplicar cada uma das $n$ linhas (ou colunas) por $k$ , e cada multiplicação de uma fila por $k$ multiplica o determinante por $k$ . Como são $n$ filas, o fator total é $k^n$ .

A pegadinha clássica da banca é o aluno aplicar apenas $k \cdot \det(A)$ (como se fosse uma única fila), esquecendo do expoente $n$ . Aqui, a ordem é 4, então o fator é $2^4 = 16$ , e não $2$ . O resultado $32$ vem de $16 \times 2$ .

Distribuição de respostas — só Grupo A: só A; só Grupo B: só B; Grupo A∩Grupo B: A∩B

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $\det(2A) = 4$ . Esse valor corresponderia a multiplicar o determinante original por 2 apenas uma vez ( $2 \times 2 = 4$ ), ignorando que a multiplicação atinge todas as 4 linhas da matriz. É o erro de quem aplica a propriedade como se fosse uma única fila.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $\det(2A) = 8$ . Esse número é $2^3 \times 2 = 8$ , ou seja, usaria o expoente 3 em vez de 4. É um distrator que confunde a ordem da matriz (4) com um expoente menor, provavelmente por associação com o $2$ do determinante.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $\det(2A) = 16$ . Esse valor é apenas $2^4 = 16$ , ou seja, o fator $k^n$ sem multiplicar pelo determinante original $\det(A) = 2$ . O aluno que calcula só a potência e esquece de multiplicar por 2 cai nessa alternativa.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a propriedade $\det(kA) = k^n \det(A)$ com $k = 2$ , $n = 4$ e $\det(A) = 2$ :

\det(2A) = 2^4 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32

É exatamente o valor da alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $\det(2A) = 64$ . Esse número é $2^6 = 64$ , ou seja, usaria o expoente 6 em vez de 4. Não há relação com a ordem da matriz nem com o determinante dado; é um distrator numérico sem fundamento na propriedade.

PEGA ESSA DICA!

Para não errar esse tipo de questão, lembre-se: o expoente é sempre a ordem da matriz (número de linhas). Se a matriz é de ordem $n$ , o fator é $k^n$ . Na hora da prova, escreva a fórmula $\det(kA) = k^n \det(A)$ antes de substituir — isso evita a confusão entre multiplicar por $k$ uma vez e multiplicar todas as linhas.

Gabarito: letra D