Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2025

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 268 (alternativa A).

A ideia por trás

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando-se uma constante, chamada razão, ao termo anterior. Ela modela crescimentos lineares, como parcelas de um financiamento ou a contagem de objetos em fileiras. O termo geral é dado por a_n = a_1 + (n-1)r, onde a_1 é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo. Essa fórmula expressa que, para chegar ao n-ésimo termo, partimos do primeiro e somamos a razão (n-1) vezes. Se a razão aumenta, os termos crescem mais rápido; se n aumenta, o termo fica maior. Nesta questão, precisamos aplicar a fórmula com os valores dados para encontrar o termo na posição 23.

O que a questão dá

• primeiro termo = 4

• razão = 12

• posição do termo = 23

O que queremos: o vigésimo terceiro termo da PA

Passo 1 — Identificar os valores dados

Antes de aplicar qualquer fórmula, precisamos reconhecer quais números correspondem a cada símbolo. Aqui, o enunciado fornece diretamente o primeiro termo (a₁ = 4), a razão (r = 12) e a posição desejada (n = 23). Isso evita confusões na hora de substituir.

Passo 2 — Montar a fórmula do termo geral

A fórmula do termo geral é a ferramenta que permite calcular qualquer termo da PA sem somar a razão várias vezes. Ela é a relação que governa o problema, então precisamos escrevê-la com os valores conhecidos.

Por que esta fórmula: A fórmula a_n = a_1 + (n-1)r é a definição do termo geral: para ir do primeiro termo até o n-ésimo, somamos a razão (n-1) vezes. É a única fórmula que relaciona diretamente a posição com o valor do termo.

De onde vem cada valor: $a_n$ = é o termo que queremos encontrar · $a_1$ = enunciado: primeiro termo = 4 · $n$ = enunciado: posição = 23 · $r$ = enunciado: razão = 12

Passo 3 — Substituir os valores na fórmula

Com a fórmula montada, agora inserimos os números nos lugares das letras. Isso transforma a expressão abstrata em uma conta concreta que podemos resolver.

Por que esta fórmula: A substituição é o passo que aplica a fórmula ao caso específico. Sem ela, não há como obter o valor numérico.

De onde vem cada valor: $4$ = passo 1: primeiro termo · $23-1$ = passo 1: posição 23 menos 1 · $12$ = passo 1: razão

Passo 4 — Calcular a diferença entre parênteses

Precisamos resolver a operação dentro dos parênteses primeiro, seguindo a ordem das operações. Isso nos dá o número de vezes que a razão será somada.

Por que esta fórmula: A subtração (23-1) é parte da fórmula; ela representa quantas somas da razão são necessárias para ir do primeiro ao vigésimo terceiro termo.

De onde vem cada valor: $23$ = passo 1: posição do termo · $1$ = constante da fórmula

Passo 5 — Multiplicar a razão pela diferença

Agora que sabemos que a razão deve ser somada 22 vezes, multiplicamos 12 por 22 para obter o total que será adicionado ao primeiro termo.

Por que esta fórmula: A multiplicação 22 × 12 é a aplicação direta da fórmula: (n-1) × r. Ela calcula o quanto o termo cresce em relação ao primeiro.

De onde vem cada valor: $22$ = passo 4: resultado da subtração · $12$ = passo 1: razão

Passo 6 — Somar o primeiro termo ao produto

O produto 264 representa o acréscimo total. Para obter o termo final, somamos esse acréscimo ao primeiro termo, completando a fórmula.

Por que esta fórmula: A soma 4 + 264 é a última operação da fórmula do termo geral: a₁ + (n-1)r. Ela combina o valor inicial com o crescimento.

De onde vem cada valor: $4$ = passo 1: primeiro termo · $264$ = passo 5: resultado da multiplicação

Resposta: 268 (alternativa A)