Questão de Estatística — Amostragem — FUNDATEC 2025

Tamanho de amostra para estimar a média (AAS)

Gabarito: letra D. O número mínimo de alunos é obtido pela fórmula do tamanho amostral para estimação da média com variância populacional conhecida: $n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2$. Com nível de confiança de 95% ($z = 1{,}96$), desvio-padrão $\sigma = 6$ e margem de erro $E = 1{,}2$, temos $n = \left(\frac{1{,}96 \cdot 6}{1{,}2}\right)^2 = (9{,}8)^2 = 96{,}04$, o que arredonda para 97 — exatamente a alternativa D.

A questão cobra o cálculo do tamanho mínimo de amostra em Amostragem Aleatória Simples (AAS) para estimar a média populacional com uma precisão pré-definida. Esse é um dos pontos mais recorrentes em provas de Estatística, pois exige apenas a aplicação direta da fórmula, mas com atenção ao arredondamento final.

A fórmula deriva do intervalo de confiança para a média quando a variância populacional é conhecida. O erro máximo (ou margem de erro) é a metade da amplitude do intervalo, dado por:

Isolando $n$, obtemos:

No enunciado, o nível de confiança de 95% corresponde a $z = 1{,}96$ (valor tabelado da distribuição normal padrão). O desvio-padrão populacional é $\sigma = 6$ horas e a margem de erro desejada é $E = 1{,}2$ horas. Substituindo:

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e precisamos garantir que a margem de erro não ultrapasse 1,2 horas, devemos arredondar para cima, obtendo $n = 97$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

10 é um valor muito abaixo do necessário. Se aplicássemos a fórmula com $n = 10$, a margem de erro seria $E = 1{,}96 \times \frac{6}{\sqrt{10}} \approx 3{,}72$, muito maior que 1,2. Esse número não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

30 também é insuficiente. Com $n = 30$, a margem de erro seria $E = 1{,}96 \times \frac{6}{\sqrt{30}} \approx 2{,}15$, ainda acima do limite de 1,2. Esse valor poderia ser uma tentativa de usar $n = 30$ como "amostra grande" pelo Teorema Central do Limite, mas aqui a variância é conhecida e a fórmula exata deve ser usada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

58 é um distrator que surge de um erro comum: usar $z = 1{,}645$ (nível de confiança de 90%) em vez de $1{,}96$. Com $z = 1{,}645$, teríamos $n = \left(\frac{1{,}645 \times 6}{1{,}2}\right)^2 = (8{,}225)^2 \approx 67{,}65$, que não é 58. Outra possibilidade é errar no desvio-padrão ou na margem de erro. De qualquer forma, não corresponde ao cálculo correto.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula com $z = 1{,}96$, $\sigma = 6$ e $E = 1{,}2$, obtemos $n = 96{,}04$, que arredondado para cima resulta em 97. Esse é o menor tamanho de amostra que garante a margem de erro máxima de 1,2 horas com 95% de confiança.

Alternativa E — ❌ Incorreta

115 é um valor superestimado. Ele poderia surgir de um erro de cálculo, como usar $z = 2{,}58$ (nível de confiança de 99%) — com esse valor, $n = \left(\frac{2{,}58 \times 6}{1{,}2}\right)^2 = (12{,}9)^2 = 166{,}41$, que não é 115. Ou talvez o candidato tenha usado $E = 1{,}1$ ou outro valor. Não corresponde ao cálculo correto.

Gabarito: letra D