Questão de Estatística — Inferência estatística — FUNDATEC 2025

Propriedades dos estimadores: eficiência, não tendenciosidade, consistência e assintoticidade

Gabarito: letra C. A questão pede para associar cada propriedade de estimadores à sua definição correta. A sequência correta é: 2 (Não tendencioso) – 1 (Eficiente) – 3 (Consistente) – 4 (Assintótico), o que corresponde à alternativa C. A definição de "não tendencioso" é a que fala da média da distribuição amostral coincidindo com o parâmetro; a de "eficiente" é a que menciona a menor variância entre estimadores com a mesma média; a de "consistente" é a que trata da convergência para o valor verdadeiro; e a de "assintótico" é a que trata da aproximação à distribuição normal.

A inferência estatística trabalha com estimadores, que são funções da amostra usadas para estimar parâmetros populacionais desconhecidos. Como diferentes estatísticas podem estimar o mesmo parâmetro, é preciso avaliar quais são as melhores, e isso se faz por meio de propriedades desejáveis. Vamos entender cada uma:

• Não tendencioso (não viesado): um estimador é não tendencioso quando o valor esperado (a média) da sua distribuição amostral é exatamente igual ao parâmetro populacional que se deseja estimar. Em outras palavras, em média, o estimador acerta o alvo. Formalmente, $E(\hat{\theta}) = \theta$.

• Eficiente: entre todos os estimadores não tendenciosos de um parâmetro, o mais eficiente é aquele que apresenta a menor variância. A eficiência é uma medida de precisão: quanto menor a variância, mais concentrada a distribuição amostral está em torno do parâmetro, e menor a chance de um valor amostral específico se afastar muito do valor real.

• Consistente: um estimador é consistente se, à medida que o tamanho da amostra ($n$) cresce, ele converge em probabilidade para o valor verdadeiro do parâmetro. Ou seja, com amostras cada vez maiores, a probabilidade de o estimador estar próximo do parâmetro tende a 1. A consistência é uma propriedade assintótica (relativa a $n \to \infty$).

• Assintótico (normalidade assintótica): um estimador é assintoticamente normal se a sua distribuição amostral se aproxima da distribuição normal à medida que o tamanho da amostra cresce. Essa propriedade é fundamental para a construção de intervalos de confiança e testes de hipóteses, pois permite usar a distribuição normal como aproximação para amostras grandes.

A pegadinha da banca está em confundir as definições de consistente e assintótico. Ambas são propriedades assintóticas (dependem de $n \to \infty$), mas a consistência fala da convergência para o valor do parâmetro, enquanto a assintoticidade fala da convergência da forma da distribuição para a normal. O candidato que não distingue esses dois conceitos troca as definições 3 e 4, caindo nas alternativas B ou D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A sequência 1 – 2 – 3 – 4 começa com a definição de eficiente, mas a primeira definição ("média da distribuição amostral coincide com o parâmetro") é a de não tendencioso, não a de eficiente. O erro está em inverter as duas primeiras propriedades.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A sequência 1 – 2 – 4 – 3 troca as definições de consistente e assintótico. A terceira definição ("converge para o valor verdadeiro do parâmetro") é a de consistente, não a de assintótico; e a quarta ("se aproxima da distribuição normal") é a de assintótico, não a de consistente.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A sequência 2 – 1 – 3 – 4 associa corretamente: (2) Não tendencioso → média da distribuição amostral coincide com o parâmetro; (1) Eficiente → menor variância entre estimadores com a mesma média; (3) Consistente → converge para o valor verdadeiro do parâmetro; (4) Assintótico → aproxima-se da distribuição normal. É exatamente a ordem pedida.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A sequência 2 – 1 – 4 – 3 acerta as duas primeiras associações, mas repete o erro da alternativa B: inverte as definições de consistente e assintótico.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A sequência 3 – 1 – 2 – 4 começa com a definição de consistente, mas a primeira definição é a de não tendencioso. Além disso, a terceira definição ("média coincide com o parâmetro") é de não tendencioso, não de consistente. Há uma inversão dupla.

Gabarito: letra C — sequência 2 – 1 – 3 – 4.