Estatística · FUNDATEC · 2025 | Questão sqc-qg484214

EstatísticaCálculo de Probabilidades

Código: qg484214
Banca: FUNDATEC
Órgão: UFRGS
Ano: 2025
Nível: Superior

Cargo: Estatístico

Em um hospital, um determinado procedimento de emergência aplicado a pacientes com um quadro clínico específico apresenta 95% de chance de sucesso em cada paciente. Durante um determinado plantão, 20 pacientes com esse quadro foram atendidos, e o hospital registrou o número de procedimentos bem-sucedidos. Além disso, sabe-se que, em média, o hospital recebe 3 pacientes por hora com esse tipo de emergência. Com base nessas informações e considerando as distribuições Bernoulli, Binomial e Poisson, assinale a alternativa correta.

ASe o sucesso do procedimento em um paciente fosse representado por uma variável com distribuição Bernoulli, a variância seria igual a 0,0475.
BA probabilidade de exatamente 20 pacientes terem sucesso no procedimento, modelada pela distribuição binomial, é aproximadamente 0,95.
CA esperança da variável binomial que representa o número de sucessos entre os 20 pacientes é igual a 1,9.
DA distribuição binomial com parâmetros n = 20 e p = 0,95 pode ser bem aproximada por uma Poisson com parâmetro λ = 1.
EA variância da variável que representa a entrada de pacientes por hora na emergência, considerando a distribuição de Poisson com média 3, é aproximadamente 0,15.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — Se o sucesso do procedimento em um paciente fosse representado por uma variável com distribuição Bernoulli, a variância seria igual a 0,0475.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Distribuições de probabilidade: Bernoulli, Binomial e Poisson

Gabarito: letra A. A variância de uma variável de Bernoulli com probabilidade de sucesso $p = 0,95$ é dada por $p(1-p) = 0,95 \times 0,05 = 0,0475$ , exatamente o valor indicado. As demais alternativas apresentam erros conceituais ou numéricos, como veremos a seguir.

A questão explora as três distribuições discretas mais cobradas em concursos: Bernoulli, Binomial e Poisson. Vamos revisar cada uma:

Bernoulli: modela um único experimento com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso). Se $X \sim \text{Bernoulli}(p)$ , então $E[X] = p$ e $\text{Var}(X) = p(1-p)$ .
Binomial: modela o número de sucessos em $n$ experimentos de Bernoulli independentes. Se $X \sim \text{Binomial}(n, p)$ , então $E[X] = np$ e $\text{Var}(X) = np(1-p)$ .
Poisson: modela o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo ou espaço, com taxa média $\lambda$ . Se $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$ , então $E[X] = \lambda$ e $\text{Var}(X) = \lambda$ .

A pegadinha central está em confundir as fórmulas de esperança e variância entre as distribuições, além de aplicar a aproximação de Poisson para a binomial sem verificar as condições adequadas.

Distribuições discretas: Bernoulli (1 ensaio) (E[X] = p, Var(X) = p(1-p)); Binomial (n ensaios) (E[X] = np, Var(X) = np(1-p)); Poisson (eventos raros) (E[X] = λ, Var(X) = λ); Aproximação Poisson (n grande e p pequeno, λ = np)

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A variável que representa o sucesso do procedimento em um único paciente é uma Bernoulli com $p = 0,95$ . A variância é:

\text{Var}(X) = p(1-p) = 0,95 \times 0,05 = 0,0475

Portanto, a alternativa está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A probabilidade de exatamente 20 sucessos em 20 tentativas, com $p = 0,95$ , é $P(X = 20) = 0,95^{20} \approx 0,3585$ , não aproximadamente 0,95. O valor 0,95 é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, não a probabilidade de todos os 20 sucessos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A esperança da binomial com $n = 20$ e $p = 0,95$ é $E[X] = np = 20 \times 0,95 = 19$ , não 1,9. O valor 1,9 seria a esperança se $p = 0,095$ , o que não é o caso.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A aproximação de Poisson para a binomial é adequada quando $n$ é grande e $p$ é pequeno, com $\lambda = np$ moderado. Aqui, $n = 20$ e $p = 0,95$ : $p$ é alto, não pequeno, e $\lambda = 19$ , não 1. Portanto, a aproximação não é válida e o parâmetro indicado está errado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Na distribuição de Poisson, a variância é igual à média. Com média 3, a variância é 3, não 0,15. O valor 0,15 não corresponde a nenhuma medida dessa distribuição.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre as fórmulas de esperança e variância das distribuições. Na Bernoulli, a variância é $p(1-p)$ ; na Binomial, é $np(1-p)$ ; na Poisson, é $\lambda$ . Além disso, a aproximação de Poisson para a binomial exige $p$ pequeno — aqui $p = 0,95$ , o que invalida a alternativa D. Fique atento a esses detalhes para não cair em armadilhas semelhantes.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões com distribuições discretas, identifique primeiro qual distribuição se aplica a cada situação: Bernoulli (um único ensaio), Binomial (n ensaios com probabilidade de sucesso constante) e Poisson (eventos raros em intervalo fixo). Em seguida, aplique as fórmulas de esperança e variância específicas de cada uma. Memorize:

Distribuição	Esperança	Variância
Bernoulli(p)	$p$	$p(1-p)$
Binomial(n, p)	$np$	$np(1-p)$
Poisson(λ)	$\lambda$	$\lambda$

Gabarito: letra A

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