Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FUNDATEC 2025

Medidas de dispersão: propriedades dos desvios em relação à média

Gabarito: letra E — todas as quatro assertivas são verdadeiras (V – V – V – V). A primeira é verdadeira porque a soma dos desvios em relação à média é sempre zero (propriedade da média); a segunda, porque a soma dos quadrados dos desvios cresce com o número de observações, inviabilizando comparações entre conjuntos de tamanhos diferentes; a terceira, porque o desvio médio é, por definição, a média aritmética dos valores absolutos dos desvios; e a quarta, porque a média é o ponto que minimiza a soma dos quadrados dos desvios (propriedade dos mínimos quadrados).

A questão explora as propriedades fundamentais dos desvios em relação à média, que são a base das medidas de dispersão. Vamos entender cada uma delas.

1. Soma dos desvios é sempre zero — Para qualquer conjunto de dados $x_1, x_2, \dots, x_n$ com média $\bar{x}$, a soma dos desvios $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})$ é identicamente igual a zero. Isso decorre da própria definição de média: como $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$, então $\sum x_i = n\bar{x}$, e portanto $\sum (x_i - \bar{x}) = \sum x_i - n\bar{x} = 0$. Por isso, a soma simples dos desvios não serve como medida de dispersão — ela é sempre nula, independentemente da variabilidade dos dados.

2. Soma dos quadrados dos desvios cresce com n — Se tomarmos a soma dos quadrados dos desvios $\sum (x_i - \bar{x})^2$, ela é sempre não negativa e cresce à medida que adicionamos mais observações (desde que os novos valores não sejam exatamente iguais à média). Isso torna essa soma inadequada para comparar a dispersão de conjuntos com tamanhos diferentes: um conjunto com 100 observações tende a ter soma de quadrados maior do que um com 10, mesmo que a variabilidade relativa seja a mesma. Por isso, a medida padronizada é a variância, que divide essa soma pelo número de observações (ou por $n-1$ na amostra).

3. Desvio médio — O desvio médio é definido como a média aritmética dos valores absolutos dos desvios: $DM = \frac{1}{n}\sum |x_i - \bar{x}|$. Ele mede, em média, o quanto cada observação se afasta da média, em valor absoluto. É uma medida de dispersão intuitiva e fácil de interpretar, embora menos utilizada que a variância e o desvio padrão por questões matemáticas (a função módulo não é diferenciável em zero, o que dificulta o tratamento analítico).

4. Média minimiza a soma dos quadrados dos desvios — A média aritmética é o valor que minimiza a soma dos quadrados dos desvios: para qualquer constante $c$, $\sum (x_i - c)^2$ é mínimo quando $c = \bar{x}$. Essa é a propriedade dos mínimos quadrados, que fundamenta a regressão linear e a definição de variância. Em contrapartida, a mediana minimiza a soma dos valores absolutos dos desvios, $\sum |x_i - c|$.

Assertiva 1 — ✅ Verdadeira

A soma dos desvios em relação à média é sempre zero. Isso é uma propriedade matemática da média: como $\sum (x_i - \bar{x}) = \sum x_i - n\bar{x} = 0$, a soma simples dos desvios não pode medir dispersão, pois é nula para qualquer conjunto de dados. A assertiva está correta.

Assertiva 2 — ✅ Verdadeira

A soma dos quadrados dos desvios, $\sum (x_i - \bar{x})^2$, tende a crescer com o número de observações. Se adicionarmos mais dados, a soma tende a aumentar (a menos que os novos valores sejam exatamente iguais à média, o que é improvável). Por isso, não se deve usá-la diretamente como medida de dispersão para comparar conjuntos de tamanhos diferentes — é necessário dividir pelo número de observações (variância) ou usar o desvio padrão. A assertiva está correta.

Assertiva 3 — ✅ Verdadeira

Por definição, o desvio médio é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios: $DM = \frac{1}{n}\sum |x_i - \bar{x}|$. É exatamente o que a assertiva afirma. A assertiva está correta.

Assertiva 4 — ✅ Verdadeira

A média é a medida de tendência central que minimiza a soma dos quadrados dos desvios. Essa é a propriedade dos mínimos quadrados: para qualquer constante $c$, $\sum (x_i - c)^2$ é mínimo quando $c = \bar{x}$. A assertiva está correta.

Gabarito: letra E — todas as assertivas são verdadeiras (V – V – V – V).