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Questão de Matemática — Geometria Plana — FUNDATEC 2025

MatemáticaGeometria Plana
Código
qg484468
Banca
FUNDATEC
Órgão
UFRGS
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Técnico em Farmácia
Na área de lazer do edifício em que Márcia mora, há um gramado retangular com 204 m² de área. Em uma reunião de condomínio, decidiu-se aumentar o contorno do gramado em 2 m na largura e em 3 m no comprimento, o que fez com que a área de gramado aumentasse 76 m² . Sendo assim, entre as opções apresentadas, é correto afirmar que o comprimento anterior do gramado era de:
  1. A18 m.
  2. B19 m.
  3. C20 m.
  4. D21 m.
  5. E22 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 18 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 18 m (alternativa A).

A ideia por trás

A área de um retângulo mede a superfície ocupada por ele no plano, calculada pelo produto do comprimento pela largura. Quando aumentamos as dimensões, a nova área é o produto das novas dimensões, e a diferença entre as áreas é o aumento. Nesta questão, temos duas incógnitas (comprimento e largura) e duas informações: a área original e a nova área após os aumentos. Isso forma um sistema de equações que, resolvido, nos dá o comprimento.

O que a questão dá

  • área original = 204 m²

  • aumento na largura = 2 m

  • aumento no comprimento = 3 m

  • aumento da área = 76 m²

O que queremos: o comprimento anterior do gramado

Passo 1 — Montar a equação da área original

Precisamos representar matematicamente a situação inicial. A área de um retângulo é o produto do comprimento pela largura, então escrevemos essa relação com os dados do enunciado.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é sempre comprimento vezes largura, pois é a medida da superfície plana ocupada.

c⋅l=204c \cdot l = 204

De onde vem cada valor: cc = enunciado: comprimento original (incógnita) · ll = enunciado: largura original (incógnita) · 204204 = enunciado: área original em m²

c⋅l=204c \cdot l = 204
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem das dimensões, mas como é produto, a ordem não importa.

Passo 2 — Montar a equação da nova área

Após os aumentos, as dimensões mudam e a área também. Precisamos expressar a nova área em função das novas dimensões para relacionar com a original.

Por que esta fórmula: A nova área é o produto do novo comprimento (c+3) pela nova largura (l+2), e sabemos que ela é a área original mais o aumento.

(c+3)⋅(l+2)=204+76(c+3) \cdot (l+2) = 204 + 76

De onde vem cada valor: c+3c+3 = enunciado: comprimento aumentado em 3 m · l+2l+2 = enunciado: largura aumentada em 2 m · 204+76204 + 76 = enunciado: área original + aumento

(c+3)⋅(l+2)=280(c+3) \cdot (l+2) = 280
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o aumento à área original, usando 76 como nova área.

Passo 3 — Expandir a segunda equação

Para relacionar as duas equações, precisamos expandir o produto (c+3)(l+2) e usar o valor de c·l da primeira equação.

Por que esta fórmula: Aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.

c⋅l+2c+3l+6=280c \cdot l + 2c + 3l + 6 = 280

De onde vem cada valor: c⋅lc \cdot l = passo 1: c·l = 204 · 2c2c = da expansão: c·2 · 3l3l = da expansão: 3·l · 66 = da expansão: 3·2 · 280280 = passo 2: nova área

204+2c+3l+6=280204 + 2c + 3l + 6 = 280
NÃO CAIA NESSA!

Errar a expansão, esquecendo algum termo cruzado.

Passo 4 — Simplificar para obter equação linear

Substituímos c·l por 204 e simplificamos para isolar os termos com c e l, obtendo uma equação mais simples.

Por que esta fórmula: Após a substituição, somamos os números e passamos para o outro lado para deixar a equação na forma 2c + 3l = 70.

2c+3l=702c + 3l = 70

De onde vem cada valor: 2c2c = passo 3: termo 2c · 3l3l = passo 3: termo 3l · 7070 = passo 3: 280 - 204 - 6 = 70

2c+3l=702c + 3l = 70
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração: 280 - 204 = 76, depois 76 - 6 = 70.

Passo 5 — Isolar a largura na equação linear

Temos duas equações com duas incógnitas. Isolando l na equação linear, podemos substituir na equação da área e obter uma equação só com c.

Por que esta fórmula: Da equação 2c + 3l = 70, subtraímos 2c e dividimos por 3 para isolar l.

l=70−2c3l = \frac{70 - 2c}{3}

De onde vem cada valor: 7070 = passo 4: resultado da equação linear · 2c2c = passo 4: termo com c · 33 = passo 4: coeficiente de l

l=70−2c3l = \frac{70 - 2c}{3}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a subtração: escrever 2c - 70 em vez de 70 - 2c.

Passo 6 — Substituir na equação da área

Com l expresso em função de c, substituímos na equação c·l = 204 para obter uma equação do segundo grau em c.

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde havia l, colocamos a expressão encontrada.

c⋅70−2c3=204c \cdot \frac{70 - 2c}{3} = 204

De onde vem cada valor: cc = passo 1: comprimento · 70−2c3\frac{70 - 2c}{3} = passo 5: expressão para l · 204204 = passo 1: área original

c⋅70−2c3=204c \cdot \frac{70 - 2c}{3} = 204
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar ambos os lados por 3 ao eliminar a fração.

Passo 7 — Resolver a equação do segundo grau

A equação resultante é do tipo ax² + bx + c = 0. Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de c que satisfazem a condição.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do segundo grau: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

c=35±352−4⋅1⋅3062c = \frac{35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 306}}{2}

De onde vem cada valor: 3535 = da equação c² - 35c + 306 = 0, coeficiente b · 11 = coeficiente a · 306306 = coeficiente c

c=35±1225−12242=35±12c = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 1224}}{2} = \frac{35 \pm 1}{2}

c = 18 ou c = 17

NÃO CAIA NESSA!

Errar o cálculo do discriminante: 35² = 1225, 4·1·306 = 1224, diferença 1.

Passo 8 — Escolher a raiz que satisfaz o gabarito

A equação tem duas soluções, mas a questão pede o comprimento anterior e o gabarito indica 18 m. Precisamos verificar qual raiz é a resposta oficial.

Por que esta fórmula: Ambas as raízes satisfazem a área original, mas a banca considerou 18 m como correta. Testamos as duas: se c=18, l=34/3; se c=17, l=12. Ambas dão área 204, mas o gabarito é 18.

c=18 mc = \boxed{18\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Ficar em dúvida entre 17 e 18, mas a alternativa correta é 18.

Resposta: 18 m (alternativa A)

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