GabaritoB — 9155,27.
Gabarito: letra B — a conta chega a 9155,27 (letra B).
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão (q). Ela aparece em situações de crescimento ou decaimento exponencial, como juros compostos, crescimento populacional e decaimento radioativo. A razão pode ser encontrada dividindo um termo pelo seu antecessor; se o quociente for sempre o mesmo, a sequência é uma PG. O termo geral de uma PG é dado por a_n = a_1 · q^(n-1), onde a_1 é o primeiro termo, q é a razão e n é a posição do termo. Nesta questão, precisamos identificar a razão e aplicar a fórmula para n = 9, lembrando que o expoente é n-1, ou seja, 8.
primeiro termo = 6
segundo termo = 15
terceiro termo = 37,5
quarto termo = 93,75
O que queremos: o nono termo da sequência
Para saber se a sequência é uma progressão geométrica e qual é o fator de multiplicação, precisamos calcular a razão. A razão é o número pelo qual cada termo é multiplicado para obter o próximo.
Por que esta fórmula: A razão q de uma PG é o quociente entre um termo e seu antecessor: q = a_{n} / a_{n-1}. Usamos o segundo termo dividido pelo primeiro.
De onde vem cada valor: = enunciado: 15 · = enunciado: 6
Dividir na ordem errada (6/15 = 0,4) ou achar que a razão é a diferença (15-6=9).
Uma sequência só é PG se a razão for a mesma entre todos os termos consecutivos. Vamos verificar com o terceiro e o quarto termo para garantir que não é uma coincidência.
Por que esta fórmula: Usamos novamente a definição de razão, agora com os termos seguintes: q = a_3 / a_2 e q = a_4 / a_3.
De onde vem cada valor: = enunciado: 37,5 · = enunciado: 15 · = enunciado: 93,75
Não verificar todos os termos e assumir que é PG sem confirmação.
Com a razão confirmada, podemos usar a fórmula do termo geral para calcular qualquer termo da PG, inclusive o nono. Essa fórmula relaciona o primeiro termo, a razão e a posição.
Por que esta fórmula: O termo geral de uma PG é a_n = a_1 · q^(n-1). Ela vem do fato de que cada termo é o primeiro multiplicado pela razão repetidas vezes: a_2 = a_1·q, a_3 = a_1·q², etc. Para o n-ésimo termo, multiplicamos por q (n-1) vezes.
De onde vem cada valor: = enunciado: 6 · = passo 1: 2,5 · = queremos o nono termo, então n = 9
Confundir o expoente: para o nono termo, o expoente é 8, não 9.
Agora aplicamos os valores conhecidos na fórmula para obter a expressão do nono termo. Isso nos dá o cálculo que precisamos fazer.
Por que esta fórmula: Substituímos a_1 = 6, q = 2,5 e n = 9 na fórmula do termo geral.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro termo · = passo 1: razão · = posição 9 menos 1
Usar expoente 9 em vez de 8, o que daria o décimo termo.
Precisamos calcular a potência para depois multiplicar por 6. Podemos fazer passo a passo para evitar erros: primeiro 2,5², depois elevar ao quadrado para obter a quarta potência, e assim por diante.
Por que esta fórmula: Usamos propriedades de potência: (a^m)^n = a^(m·n). Assim, 2,5^8 = (2,5^4)^2 = (6,25^2)^2, etc.
De onde vem cada valor: = cálculo: 2,5 × 2,5 = 6,25 · = elevar 6,25 à quarta potência
Errar na multiplicação ou usar calculadora com arredondamento prematuro.
Com a potência calculada, multiplicamos pelo primeiro termo (6) para obter o nono termo da sequência.
Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral indica que a_9 = a_1 · q^8, então basta multiplicar 6 pelo valor da potência.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro termo · = passo 5: resultado da potência
Esquecer de multiplicar por 6 ou multiplicar errado.
As alternativas têm duas casas decimais, então precisamos arredondar o resultado para comparar com as opções.
Por que esta fórmula: Arredondamento padrão: se o terceiro decimal for 5 ou mais, aumenta o segundo decimal em 1; caso contrário, mantém.
Arredondar para baixo (9155,27) ou truncar (9155,27) – aqui o terceiro decimal é 3, então mantém.
Resposta: 9155,27 (letra B)
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