Matemática · FUNDATEC · 2025 | Questão sqc-qg484573

Multiplicação de polinômios

Gabarito: letra E. O produto entre $P(x) = x^3 + x^2 - x + 7$ e $Q(x) = x^2 - x$ é obtido aplicando a propriedade distributiva (cada termo de um polinômio multiplica todos os termos do outro) e reduzindo os termos semelhantes, resultando em $x^5 - 2x^3 + 8x^2 - 7x$ .

A multiplicação de polinômios é uma operação algébrica fundamental: para multiplicar dois polinômios, multiplicamos cada termo do primeiro por cada termo do segundo, usando a propriedade distributiva da multiplicação, e depois somamos os termos semelhantes (mesma parte literal). Esse procedimento está descrito no material de apoio sobre operações com polinômios.

Vamos efetuar o cálculo passo a passo:

P(x) \cdot Q(x) = (x^3 + x^2 - x + 7) \cdot (x^2 - x)

Aplicando a distributiva:

= x^3 \cdot (x^2 - x) + x^2 \cdot (x^2 - x) - x \cdot (x^2 - x) + 7 \cdot (x^2 - x)

= (x^5 - x^4) + (x^4 - x^3) + (-x^3 + x^2) + (7x^2 - 7x)

Agora, reduzimos os termos semelhantes:

$x^5$ : só existe um termo, fica $x^5$ .
$x^4$ : $-x^4 + x^4 = 0$ (cancelam-se).
$x^3$ : $-x^3 - x^3 = -2x^3$ .
$x^2$ : $x^2 + 7x^2 = 8x^2$ .
$x$ : $-7x$ .

Resultado final:

x^5 - 2x^3 + 8x^2 - 7x

Que corresponde exatamente à alternativa E.

1Aplicar distributiva
2Multiplicar cada termo
3Reduzir semelhantes

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $x^5 + 2x^3 + 8x^2 - 7x$ . O erro está no termo $2x^3$ : o correto é $-2x^3$ . Além disso, omite o termo $x^4$ (que, embora se cancele no resultado final, aparece no desenvolvimento). A banca provavelmente errou o sinal do coeficiente de $x^3$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $x^5 + 2x^4 - 2x^3 + 8x^2 - 7x$ . O erro está no termo $+2x^4$ : no desenvolvimento, os termos $x^4$ se cancelam ( $-x^4 + x^4 = 0$ ), portanto não deve haver termo de grau 4 no resultado. O sinal de $x^3$ também está trocado (deveria ser $-2x^3$ , e aqui é $-2x^3$ , mas o $x^4$ invalida).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $x^5 - 2x^4 + 2x^3 + 8x^2 - 7x$ . O erro está no termo $-2x^4$ : novamente, o termo de grau 4 não aparece no resultado final. Além disso, o coeficiente de $x^3$ está com sinal trocado ( $+2x^3$ em vez de $-2x^3$ ).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $x^5 + 8x^2 - 7x$ . Faltam os termos de grau 3 e 4: o correto é $x^5 - 2x^3 + 8x^2 - 7x$ . A alternativa omite completamente o termo $-2x^3$ , provavelmente por erro de cálculo ao reduzir os termos semelhantes.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta exatamente o resultado do produto: $x^5 - 2x^3 + 8x^2 - 7x$ . Confere com o desenvolvimento passo a passo mostrado acima.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão na redução dos termos semelhantes, especialmente o cancelamento do termo $x^4$ e o sinal do coeficiente de $x^3$ . Muitos candidatos somam os termos $x^4$ sem perceber que eles se anulam, ou erram o sinal ao combinar $-x^3 - x^3$ . Fique atento: ao multiplicar, escreva todos os termos e só então reduza, com calma.

PEGA ESSA DICA!

Para conferir rapidamente, use o grau do polinômio resultante: o grau de $P(x)$ é 3 e o de $Q(x)$ é 2, então o produto tem grau 5 (soma dos graus). Isso já elimina alternativas com grau diferente. Depois, verifique o termo de maior grau ( $x^5$ ) e o termo independente (que aqui é zero, pois $Q(x)$ não tem termo constante).

Gabarito: letra E