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Questão de Matemática — Polinômios — FUNDATEC 2025

MatemáticaPolinômios
Código
qg485208
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Erebango - RS
Ano
2025
Nível
Superior
Ao dividir os polinômios P(x) = x³ + 3x² – x + 6 por Q(x) = x + 2, qual será o valor do resto dessa operação?
  1. A–12
  2. B–6
  3. C0
  4. D6
  5. E12
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GabaritoE — 12

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a O resto é 12, alternativa E..

A ideia por trás

A divisão de polinômios é uma operação que relaciona dividendo, divisor, quociente e resto, com a condição de que o grau do resto seja menor que o do divisor. Quando o divisor é da forma (x – a), o Teorema do Resto (ou de D'Alembert) afirma que o resto é exatamente o valor numérico do polinômio no ponto a, ou seja, P(a). Isso evita o algoritmo longo da divisão e é o método mais rápido para questões como esta. Nesta questão, o divisor é x + 2, que pode ser escrito como x – (–2), então basta calcular P(–2) para obter o resto.

O que a questão dá

  • P(x) = x³ + 3x² – x + 6

  • Q(x) = x + 2

O que queremos: o resto da divisão de P(x) por Q(x)

Passo 1 — Reescrever o divisor na forma (x – a)

O Teorema do Resto só se aplica quando o divisor é da forma (x – a). Precisamos identificar o valor de a para substituir no polinômio.

Por que esta fórmula: O divisor Q(x) = x + 2 é equivalente a x – (–2), pois subtrair um número negativo é o mesmo que somar. Assim, a = –2.

x+2=x−(−2)x + 2 = x - (-2)

De onde vem cada valor: xx = enunciado: Q(x) = x + 2 · 22 = enunciado: termo constante do divisor

x+2=x−(−2)x + 2 = x - (-2)
a=−2a = \boxed{-2}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o sinal: achar que a = +2 em vez de –2, o que levaria a calcular P(2) e errar o resto.

Passo 2 — Substituir x por –2 no polinômio

Pelo Teorema do Resto, o resto é P(a). Como já temos a = –2, agora precisamos calcular o valor numérico do polinômio nesse ponto.

Por que esta fórmula: O Teorema do Resto diz que o resto da divisão de P(x) por (x – a) é P(a). Então substituímos cada x por –2.

P(−2)=(−2)3+3⋅(−2)2−(−2)+6P(-2) = (-2)^{3} + 3 \cdot (-2)^{2} - (-2) + 6

De onde vem cada valor: (−2)3(-2)^{3} = passo 1: a = -2, elevado ao expoente do termo de maior grau · 3⋅(−2)23 \cdot (-2)^{2} = passo 1: a = -2, coeficiente 3 do termo x² · −(−2)-(-2) = passo 1: a = -2, termo -x · +6+6 = enunciado: termo constante de P(x)

P(−2)=(−2)3+3⋅(−2)2−(−2)+6P(-2) = (-2)^{3} + 3 \cdot (-2)^{2} - (-2) + 6
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de (-2)^3: é –8, não +8. Também esquecer de multiplicar 3 por 4 corretamente.

Passo 3 — Calcular as potências e multiplicações

Precisamos simplificar cada termo da expressão para chegar ao valor numérico. Potências e multiplicações vêm antes das somas e subtrações.

Por que esta fórmula: Aplicamos as regras de potência: (-2)^3 = -8, (-2)^2 = 4, e depois multiplicamos 3 por 4.

P(−2)=−8+3⋅4+2+6P(-2) = -8 + 3 \cdot 4 + 2 + 6

De onde vem cada valor: −8-8 = passo 2: (-2)^3 · 3⋅43 \cdot 4 = passo 2: 3 ⋅\cdot (-2)^2 · +2+2 = passo 2: -(-2) = +2 · +6+6 = enunciado: termo constante

P(−2)=−8+12+2+6P(-2) = -8 + 12 + 2 + 6
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que -(-2) vira +2, ou errar a multiplicação 3·4 = 12.

Passo 4 — Somar os termos para obter o resto

Agora que todos os termos estão simplificados, basta somá-los na ordem para encontrar o valor final do resto.

Por que esta fórmula: Soma direta: -8 + 12 = 4, 4 + 2 = 6, 6 + 6 = 12.

P(−2)=−8+12+2+6P(-2) = -8 + 12 + 2 + 6

De onde vem cada valor: −8-8 = passo 3 · 1212 = passo 3 · 22 = passo 3 · 66 = passo 3

P(−2)=4+2+6=12=12P(-2) = 4 + 2 + 6 = 12 = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma: por exemplo, fazer -8 + 12 = 4, mas depois somar errado. Ou esquecer de somar o +6.

Resposta: O resto é 12, alternativa E.

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