Questão de Matemática — Sistemas de Numeração e Operações Fundamentais — FUNDATEC 2025

Conjuntos numéricos: naturais, racionais e irracionais

Gabarito: letra E — estão corretas apenas as assertivas I e III. O número 5 é natural; –4 e 5,5 são racionais (podem ser escritos como fração de inteiros); e a assertiva II é falsa porque racionais e irracionais são conjuntos disjuntos — nenhum racional é irracional.

A questão cobra a classificação dos números nos conjuntos numéricos e a relação de inclusão entre eles. Vamos revisar cada conjunto:

• Naturais (ℕ): números inteiros não negativos: 0, 1, 2, 3, ... (algumas definições excluem o zero). O 5 pertence a ℕ.

• Inteiros (ℤ): inclui os negativos: ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...

• Racionais (ℚ): todo número que pode ser escrito como fração $\frac{a}{b}$, com $a$ e $b$ inteiros e $b \neq 0$. Isso inclui inteiros (ex.: $5 = \frac{5}{1}$), decimais exatos (ex.: $5{,}5 = \frac{11}{2}$) e dízimas periódicas (ex.: $0{,}333... = \frac{1}{3}$).

• Irracionais (ℝ − ℚ): números que não podem ser escritos como fração de inteiros — têm representação decimal com infinitas casas não periódicas (ex.: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$).

• Reais (ℝ): união dos racionais com os irracionais: $\mathbb{Q} \cup \mathbb{R} - \mathbb{Q} = \mathbb{R}$.

A relação de inclusão fundamental é: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, e os irracionais são o complemento dos racionais dentro dos reais — ou seja, $\mathbb{Q} \cap (\mathbb{R} - \mathbb{Q}) = \varnothing$. Nenhum número pode ser racional e irracional ao mesmo tempo.

A pegadinha da assertiva II está exatamente aí: ela afirma que todo racional também é irracional, o que é impossível, pois os conjuntos são disjuntos. O candidato que confunde a relação de inclusão (racional ⊂ real) com a relação entre racionais e irracionais cai no erro.

Item I — ✅ Correto

O número 5 é um número natural, pois pertence ao conjunto $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$. Assertiva verdadeira.

Item II — ❌ Incorreto

Afirma que todo racional pertence também aos irracionais. Isso é falso: os conjuntos dos racionais e dos irracionais são disjuntos — um número racional nunca é irracional, e vice-versa. A relação correta é que todo racional é real, mas não irracional. Assertiva falsa.

Item III — ✅ Correto

–4 pode ser escrito como $\frac{-4}{1}$ e 5,5 como $\frac{11}{2}$ — ambos são frações de inteiros, logo são números racionais. Assertiva verdadeira.

Conclusão: corretas apenas I e III → letra E.

Gabarito: letra E