GabaritoE — 16.
Gabarito: letra E — a conta chega a 16 (letra E).
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante r (a razão) ao termo anterior. O termo geral permite calcular qualquer termo diretamente, sem precisar escrever a sequência inteira: aₙ = a₁ + (n-1)·r, onde a₁ é o primeiro termo e n a posição do termo desejado. Nesta questão, o enunciado estabelece uma relação entre o primeiro termo e a razão: a₁ = 2r. Além disso, sabemos que a₂₀ = 84. Substituindo na fórmula do termo geral, encontramos a razão e, com ela, o terceiro termo.
primeiro termo é o dobro da razão: a₁ = 2r
vigésimo termo: a₂₀ = 84
O que queremos: o terceiro termo da PA
Precisamos de uma relação que ligue o termo que conhecemos (a₂₀) com a razão r. A fórmula do termo geral da PA é a ferramenta que faz isso, pois expressa qualquer termo em função do primeiro e da razão.
Por que esta fórmula: É a definição de PA: cada termo é o anterior mais a razão, então o enésimo termo é o primeiro mais (n-1) razões.
De onde vem cada valor: = termo na posição n (aqui, a₂₀) · = primeiro termo (dado indiretamente: a₁ = 2r) · = posição do termo (20 para o vigésimo) · = razão (incógnita)
Esquecer que a fórmula usa (n-1), não n. Para o vigésimo termo, são 19 razões somadas, não 20.
A fórmula do termo geral tem duas incógnitas (a₁ e r). A relação dada no enunciado reduz para uma só, permitindo resolver.
Por que esta fórmula: O enunciado afirma que o primeiro termo é o dobro da razão, então substituímos a₁ por 2r na fórmula.
De onde vem cada valor: = enunciado: 84 · = passo 1: a₁ = 2r · = posição 20 menos 1 · = razão (incógnita)
Não substituir a₁ por 2r e tentar resolver com duas incógnitas.
Com a expressão simplificada, podemos igualar a 84 e resolver a equação do primeiro grau para achar r.
Por que esta fórmula: A equação 21r = 84 vem da soma 2r + 19r = 21r, e sabemos que isso é igual a 84.
De onde vem cada valor: = passo 2: 2r + 19r · = enunciado: a₂₀ = 84
Dividir 84 por 20 em vez de 21, achando r = 4,2.
Com a razão conhecida, usamos a relação do enunciado para achar o primeiro termo, necessário para o terceiro.
Por que esta fórmula: O enunciado diz que o primeiro termo é o dobro da razão, então basta multiplicar r por 2.
De onde vem cada valor: = enunciado: dobro · = passo 3: r = 4
Confundir a₁ com o terceiro termo e marcar 8.
Agora temos todos os dados para aplicar a fórmula do termo geral para n = 3.
Por que esta fórmula: Usamos a mesma fórmula do termo geral, agora com n = 3, pois queremos o terceiro termo.
De onde vem cada valor: = passo 4: a₁ = 8 · = posição 3 menos 1 · = passo 3: r = 4
Usar (3) em vez de (3-1), somando 3 razões em vez de 2, o que daria 20.
Resposta: 16 (letra E)
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