Raciocínio Lógico · FUNDATEC · 2025 | Questão sqc-qg485625

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 270 servidores (alternativa D).

A ideia por trás

O princípio da inclusão-exclusão é uma técnica de contagem usada para determinar quantos elementos existem na união de conjuntos, sem contar ninguém duas vezes. Quando somamos os totais de cada conjunto, as pessoas que pertencem a dois conjuntos são contadas duas vezes, e as que pertencem aos três são contadas três vezes. Para corrigir isso, subtraímos as interseções duplas uma vez e somamos de volta a interseção tripla, que foi subtraída a mais. A fórmula para três conjuntos é: n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C). Nesta questão, precisamos calcular quantos usam pelo menos um sistema e depois somar os que não usam nenhum, para obter o total pesquisado.

O que a questão dá

n(A) = 120
n(B) = 100
n(C) = 80
n(A ∩ B) = 40
n(A ∩ C) = 30
n(B ∩ C) = 20
n(A ∩ B ∩ C) = 10
n(fora) = 50

O que queremos: o número total de servidores pesquisados

Passo 1 — Somando os totais de cada sistema

Para aplicar o princípio da inclusão-exclusão, começamos somando quantos usam cada sistema individualmente. Isso conta algumas pessoas mais de uma vez, mas é o ponto de partida da fórmula.

Por que esta fórmula: A fórmula da união de três conjuntos começa com a soma dos tamanhos de cada conjunto, porque queremos contar todos os elementos que pertencem a pelo menos um deles.

S = n(A) + n(B) + n(C)

De onde vem cada valor: $n(A)$ = enunciado: 120 · $n(B)$ = enunciado: 100 · $n(C)$ = enunciado: 80

S = 120 + 100 + 80 = \boxed{300}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar um dos totais, resultando em valor menor.

Passo 2 — Subtraindo as interseções duplas

Na soma anterior, quem usa dois sistemas foi contado duas vezes. Para corrigir, subtraímos cada interseção dupla uma vez, pois cada pessoa que está em dois conjuntos foi contada a mais uma vez.

Por que esta fórmula: A fórmula da inclusão-exclusão subtrai as interseções de pares para eliminar a contagem dupla.

S' = S - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C)

De onde vem cada valor: $S$ = passo 1: 300 · $n(A \cap B)$ = enunciado: 40 · $n(A \cap C)$ = enunciado: 30 · $n(B \cap C)$ = enunciado: 20

S' = 300 - 40 - 30 - 20 = \boxed{210}

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas duas interseções, esquecendo a terceira.

Passo 3 — Somando a interseção tripla de volta

Quem usa os três sistemas foi contado três vezes na soma inicial e subtraído três vezes nas interseções duplas, ou seja, foi excluído completamente. Precisamos somar uma vez para incluí-lo corretamente.

Por que esta fórmula: O princípio da inclusão-exclusão adiciona a interseção tripla porque ela foi subtraída a mais.

n(A \cup B \cup C) = S' + n(A \cap B \cap C)

De onde vem cada valor: $S'$ = passo 2: 210 · $n(A \cap B \cap C)$ = enunciado: 10

n(A \cup B \cup C) = 210 + 10 = \boxed{220}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a interseção tripla, resultando em 210.

Passo 4 — Somando quem não usa nenhum sistema

O total de servidores pesquisados inclui tanto os que usam pelo menos um sistema quanto os que não usam nenhum. Como já calculamos a união, agora somamos os que estão fora.

Por que esta fórmula: O total é a soma da união com o complemento (quem não usa nenhum).

Total = n(A \cup B \cup C) + n(fora)

De onde vem cada valor: $n(A \cup B \cup C)$ = passo 3: 220 · $n(fora)$ = enunciado: 50

Total = 220 + 50 = \boxed{270}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os 50 que não usam nenhum, resultando em 220.

Resposta: 270 servidores (alternativa D)

Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — FUNDATEC 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Somando os totais de cada sistema

Passo 2 — Subtraindo as interseções duplas

Passo 3 — Somando a interseção tripla de volta

Passo 4 — Somando quem não usa nenhum sistema