Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — FUNDATEC 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 270 servidores (alternativa D).

A ideia por trás

O princípio da inclusão-exclusão é uma técnica de contagem usada para calcular quantos elementos existem na união de conjuntos, evitando contar duas vezes quem pertence a mais de um conjunto. Quando somamos os totais de A, B e C, os servidores que usam dois sistemas são contados duas vezes, e os que usam os três, três vezes. Por isso, subtraímos as interseções duplas (para corrigir a dupla contagem) e somamos a interseção tripla (porque ela foi subtraída três vezes, mas deveria ser contada apenas uma). A fórmula geral é: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C). Nesta questão, precisamos aplicar essa fórmula para descobrir quantos usam pelo menos um sistema e depois somar os que não usam nenhum, obtendo o total pesquisado.

O que a questão dá

• n(A) = 120

• n(B) = 100

• n(C) = 80

• n(A ∩ B) = 40

• n(A ∩ C) = 30

• n(B ∩ C) = 20

• n(A ∩ B ∩ C) = 10

• n(fora) = 50

O que queremos: o número total de servidores pesquisados

Passo 1 — Somando os totais de cada sistema

Para aplicar o princípio da inclusão-exclusão, o primeiro passo é somar quantos usam cada sistema individualmente. Isso conta cada servidor que usa um sistema, mas quem usa mais de um é contado mais de uma vez — por isso precisamos corrigir depois.

Por que esta fórmula: A soma dos totais é o ponto de partida da fórmula da união: n(A) + n(B) + n(C).

De onde vem cada valor: $n(A)$ = enunciado: 120 · $n(B)$ = enunciado: 100 · $n(C)$ = enunciado: 80

Passo 2 — Somando as interseções duplas

Agora precisamos saber o total de servidores que foram contados a mais na soma anterior. Quem usa dois sistemas foi contado duas vezes, então somamos as interseções duplas para saber quanto subtrair.

Por que esta fórmula: As interseções duplas representam as duplas contagens; somá-las nos dá o valor a subtrair.

De onde vem cada valor: $n(A \cap B)$ = enunciado: 40 · $n(A \cap C)$ = enunciado: 30 · $n(B \cap C)$ = enunciado: 20

Passo 3 — Subtraindo as interseções duplas

Subtraímos as interseções duplas da soma dos totais para corrigir a dupla contagem. Quem usa dois sistemas foi contado duas vezes, então subtrair uma vez ajusta a contagem.

Por que esta fórmula: A fórmula da união exige subtrair as interseções duplas: n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C).

De onde vem cada valor: $S$ = passo 1: 300 · $D$ = passo 2: 90

Passo 4 — Somando a interseção tripla de volta

Quem usa os três sistemas foi contado três vezes na soma inicial e subtraído três vezes nas interseções duplas, então acabou excluído. Precisamos somar uma vez para incluí-lo corretamente.

Por que esta fórmula: O princípio da inclusão-exclusão manda somar a interseção tripla: + n(A∩B∩C).

De onde vem cada valor: $P$ = passo 3: 210 · $n(A \cap B \cap C)$ = enunciado: 10

Passo 5 — Somando os que não usam nenhum sistema

O total de servidores pesquisados inclui também os que não usam nenhum dos três sistemas. Como a união U representa apenas quem usa pelo menos um, somamos os 50 de fora para obter o total.

Por que esta fórmula: O total é a união mais os elementos fora dela: Total = U + n(fora).

De onde vem cada valor: $U$ = passo 4: 220 · $n(\text{fora})$ = enunciado: 50

Resposta: 270 servidores (alternativa D)