Matemática · FUNDATEC · 2025 | Questão sqc-qg485906

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 2 (alternativa D).

A ideia por trás

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada que resume algumas de suas propriedades, como a inversibilidade e o fator de escala de transformações lineares. Para matrizes de ordem 2, o determinante é calculado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Essa regra é direta e exige apenas atenção na ordem da subtração: primeiro o produto da diagonal principal, depois o da secundária. Nesta questão, o desafio é montar a matriz a partir da lei de formação aij = 2i - j, onde i é a linha e j é a coluna, e então aplicar a regra do determinante.

O que a questão dá

matriz A = [aij]₂x₂
lei de formação: aij = 2i - j

O que queremos: o determinante da matriz A

Passo 1 — Montar a matriz usando a lei de formação

A matriz não foi dada pronta; precisamos construí-la a partir da regra aij = 2i - j. Aqui, i representa a linha e j a coluna. Para cada posição, substituímos i e j na fórmula para obter o elemento.

Por que esta fórmula: A lei de formação define cada elemento da matriz. Para uma matriz 2x2, temos quatro posições: (1,1), (1,2), (2,1) e (2,2). Substituímos cada par (i,j) na expressão 2i - j.

a_{ij} = 2i - j

De onde vem cada valor: $i$ = enunciado: linha da matriz (1 ou 2) · $j$ = enunciado: coluna da matriz (1 ou 2)

a_{11} = 2 \cdot 1 - 1 = 1, a_{12} = 2 \cdot 1 - 2 = 0, a_{21} = 2 \cdot 2 - 1 = 3, a_{22} = 2 \cdot 2 - 2 = 2

A = \boxed{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}}

NÃO CAIA NESSA!

Trocar i por j na lei de formação, por exemplo, calcular a_{12} como 2*2 - 1 = 3 em vez de 0.

Passo 2 — Calcular o determinante pela regra da diagonal

Com a matriz montada, aplicamos a regra do determinante para matrizes de ordem 2: o determinante é a diferença entre o produto da diagonal principal (a11 * a22) e o produto da diagonal secundária (a12 * a21). Essa regra é específica para matrizes 2x2 e é a única que precisamos aqui.

Por que esta fórmula: Para uma matriz 2x2, o determinante é definido como ad - bc, onde a, b, c, d são os elementos na ordem: a11, a12, a21, a22. Essa é a fórmula padrão.

\det A = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}

De onde vem cada valor: $a_{11}$ = passo 1: 1 · $a_{22}$ = passo 1: 2 · $a_{12}$ = passo 1: 0 · $a_{21}$ = passo 1: 3

\det A = 1 \cdot 2 - 0 \cdot 3 = \boxed{2}

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem da subtração, fazendo 03 - 12 = -2, o que levaria à alternativa A.

Resposta: 2 (alternativa D)