Matemática · FUNDATEC · 2025 | Questão sqc-qg486388

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 3.150.000,00 (letra B).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é o anterior somado a uma constante chamada razão (r). Ela modela situações de crescimento (ou decrescimento) linear, como a arrecadação mensal de um tributo. A razão indica quanto cada termo aumenta em relação ao anterior; a unidade é a mesma dos termos (reais).

O termo geral é a_n = a_1 + (n-1)r: ele relaciona o primeiro termo, a posição e a razão. Se a razão cresce, os termos crescem mais rápido; se a posição aumenta, o termo aumenta linearmente. A soma dos n primeiros termos é S_n = (a_1 + a_n)·n/2: ela usa o primeiro e o último termo, e a média deles vezes a quantidade de termos. Essa fórmula é válida para qualquer PA.

Nesta questão, temos dois termos não consecutivos (3º e 8º). Precisamos achar a razão e o primeiro termo para então calcular a soma dos 12 termos.

O que a questão dá

3º mês: R$ 210.000,00
8º mês: R$ 285.000,00
período: 12 meses

O que queremos: o total arrecadado nos 12 meses

Passo 1 — Calcular a razão da progressão

A razão é o quanto cada mês aumenta em relação ao anterior. Como temos dois termos, a diferença entre eles dividida pelo número de passos dá a razão. Do 3º ao 8º mês são 5 passos (8-3).

Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral a_n = a_1 + (n-1)r permite escrever a_8 - a_3 = (8-3)r, então r = (a_8 - a_3)/(8-3).

r = \frac{a_8 - a_3}{8 - 3}

De onde vem cada valor: $a_8$ = enunciado: R$ 285.000,00 · $a_3$ = enunciado: R$ 210.000,00 · $8$ = posição do 8º mês · $3$ = posição do 3º mês

r = \frac{285000 - 210000}{8 - 3} = \frac{75000}{5} = \boxed{15.000\ \text{reais} \text{por} \text{m}ê\text{s}}

NÃO CAIA NESSA!

Contar 6 passos em vez de 5 (do 3º ao 8º são 5 intervalos).

Passo 2 — Descobrir o primeiro termo

Com a razão, podemos voltar do 3º termo até o 1º. O 3º termo é o primeiro mais duas razões (a_3 = a_1 + 2r).

Por que esta fórmula: Usamos a fórmula do termo geral com n=3: a_3 = a_1 + (3-1)r = a_1 + 2r.

a_1 = a_3 - 2 \cdot r

De onde vem cada valor: $a_3$ = enunciado: R$ 210.000,00 · $r$ = passo 1: 15.000

a_1 = 210000 - 2 \cdot 15000 = 210000 - 30000 = \boxed{180.000\ \text{reais}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a razão por 2, achando a_1 = 195.000.

Passo 3 — Calcular o 12º termo

A soma dos 12 termos precisa do primeiro e do último termo. O 12º termo é o primeiro mais 11 razões.

Por que esta fórmula: Usamos a fórmula do termo geral com n=12: a_12 = a_1 + (12-1)r = a_1 + 11r.

a_{12} = a_1 + 11 \cdot r

De onde vem cada valor: $a_1$ = passo 2: 180.000 · $r$ = passo 1: 15.000

a_{12} = 180000 + 11 \cdot 15000 = 180000 + 165000 = \boxed{345.000\ \text{reais}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 12r em vez de 11r, pois do 1º ao 12º são 11 intervalos.

Passo 4 — Somar os 12 termos da PA

Com o primeiro e o último termo, a soma dos 12 meses é a média deles vezes a quantidade de meses. Essa é a fórmula da soma da PA.

Por que esta fórmula: A soma dos n primeiros termos de uma PA é S_n = (a_1 + a_n)·n/2, pois a soma é simétrica: o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc., sempre dando o mesmo valor.

S_{12} = \frac{(a_1 + a_{12}) \cdot 12}{2}

De onde vem cada valor: $a_1$ = passo 2: 180.000 · $a_{12}$ = passo 3: 345.000 · $12$ = número de meses

S_{12} = \frac{(180000 + 345000) \cdot 12}{2} = \frac{525000 \cdot 12}{2} = \boxed{3.150.000\ \text{reais}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, ou usar apenas o 8º termo como se fosse a média.

Resposta: R$ 3.150.000,00 (letra B)

Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular a razão da progressão

Passo 2 — Descobrir o primeiro termo

Passo 3 — Calcular o 12º termo

Passo 4 — Somar os 12 termos da PA