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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FUNDATEC 2025

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
qg486452
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de São Vicente do Sul - RS
Ano
2025
Nível
Superior
Uma das prateleiras do armário da farmácia deve ser organizada para acomodar: 4 tipos de anti-inflamatórios, 3 tipos de antibióticos e 3 tipos de antitérmicos. Considerando que medicamentos de mesmo tipo devem ficar lado a lado, de quantas formas a frente dessa prateleira pode ser organizada?
  1. A715.
  2. B864.
  3. C3.256.
  4. D5.184.
  5. E5.376.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 5.184.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 5.184 formas — alternativa D..

A ideia por trás

Quando um problema de contagem exige que certos elementos fiquem juntos, usamos a permutação com blocos: tratamos cada grupo obrigatório como um único 'superelemento' e depois contamos as arrumações internas de cada grupo. A permutação simples de n elementos distintos é n! (lê-se 'n fatorial'), que é o produto de todos os inteiros de n até 1 — ela conta de quantas maneiras podemos ordenar esses elementos. O princípio multiplicativo diz que, se uma escolha tem a possibilidades e outra tem b, o total de combinações é a × b; aqui aplicamos isso em duas etapas: primeiro ordenamos os blocos, depois ordenamos os elementos dentro de cada bloco. Nesta questão, os três tipos de medicamentos formam três blocos, e dentro de cada bloco os medicamentos são distintos, então multiplicamos as permutações dos blocos pelas permutações internas.

O que a questão dá

  • 4 tipos de anti-inflamatórios

  • 3 tipos de antibióticos

  • 3 tipos de antitérmicos

  • medicamentos de mesmo tipo devem ficar lado a lado

O que queremos: o número de formas de organizar a prateleira

Passo 1 — Contar as ordens dos três blocos

Como os medicamentos de mesmo tipo devem ficar juntos, cada tipo vira um bloco único. Primeiro contamos de quantas maneiras esses três blocos podem ser colocados na prateleira — é uma permutação simples de 3 elementos.

Por que esta fórmula: A permutação de n elementos distintos é n!, pois para o primeiro lugar temos n opções, para o segundo n−1, e assim por diante. Aqui n = 3 (três blocos).

P3=3!P_3 = 3!

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: três tipos de medicamentos (anti-inflamatórios, antibióticos, antitérmicos)

3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de permutar os blocos, contando apenas as ordens internas — o resultado fica 864, que é a alternativa B.

Passo 2 — Contar as ordens dos anti-inflamatórios

Dentro do bloco de anti-inflamatórios, os 4 tipos são distintos e podem ser arrumados em qualquer ordem. Isso é uma permutação simples de 4 elementos.

Por que esta fórmula: Mesmo raciocínio: 4 elementos distintos podem ser ordenados de 4! maneiras.

P4=4!P_4 = 4!

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: 4 tipos de anti-inflamatórios

4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{24}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 4! apenas para os anti-inflamatórios e esquecer os outros blocos — falta multiplicar pelas demais permutações.

Passo 3 — Contar as ordens dos antibióticos

O bloco de antibióticos tem 3 tipos distintos; cada ordem interna é uma permutação de 3 elementos.

Por que esta fórmula: 3 elementos distintos → 3! permutações.

P3=3!P_3 = 3!

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: 3 tipos de antibióticos

3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com o número de antibióticos e usar 3! também para os antitérmicos — mas isso é correto, o erro seria usar outro valor.

Passo 4 — Contar as ordens dos antitérmicos

O bloco de antitérmicos também tem 3 tipos distintos, então são 3! permutações internas.

Por que esta fórmula: Mesmo princípio: 3 elementos distintos → 3!.

P3=3!P_3 = 3!

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: 3 tipos de antitérmicos

3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 2! para os antitérmicos, achando que são 2 — o enunciado diz 3.

Passo 5 — Multiplicar todas as possibilidades

Cada escolha de ordem dos blocos pode ser combinada com cada ordem interna de cada bloco. O princípio multiplicativo manda multiplicar todas as contagens independentes.

Por que esta fórmula: O total é o produto das permutações dos blocos e das internas: 3! (blocos) × 4! (anti-inflamatórios) × 3! (antibióticos) × 3! (antitérmicos).

Total=3!×4!×3!×3!Total = 3! \times 4! \times 3! \times 3!

De onde vem cada valor: 3!3! = passo 4 · 4!4! = passo 2

Total=6×24×6×6=5.184Total = 6 \times 24 \times 6 \times 6 = \boxed{5.184}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas 4! × 3! × 3! = 864, esquecendo a permutação dos blocos — cai na alternativa B.

Resposta: 5.184 formas — alternativa D.

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